标题 | 四阶行列式计算方法的一些教学探讨 |
范文 | 甘媛
【摘 要】行列式的计算是线性代数中主要的基础知识之一,利用倍加性质造零是四阶行列式的计算方法中最关键的步骤,也是难点。针对高职高专学生的特点,总结出学生容易理解接受的新技巧———找1造0,横写竖算(竖写横算),有效地突破这一难点,提高教学效果。 【关键词】四阶行列式;倍加造零;找1造0;横写竖算;竖写横算 【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)32-0014-02 一、引言 行列式计算的思想和方法其实是以行列式的性质为工具,把四阶行列式化为一些特殊的行列式或是三阶行列式来求解。而数字行列式一般是降为三阶行列式来进行计算,因此计算方法离不开倍加性质和拉普拉斯展开式。 二、分析探讨 我们先回忆一下倍加性质:把行列式的某一行(列)的元素乘以常数k,再加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。这条性质主要用于把元素化为零,因此又叫“倍加造零”。但是这条性质中学生最难以理解的是如何造?为了突破这个教学难点,我们必须明确以下几点: (1)在性质中涉及到两行(列)元素,首先必须知道的是哪一行(列)上的元素发生变化。 (2)“倍加”二字包括乘法和加法两种运算,也就意味着具体计算是先乘法后加法。 (3)常数k如何取,取什么数才能合乎题意,这是难点。 (4)最终目的是造零,零的个数越多,求解就越简便,但某一行(列)最多也就是三个零。 对于四阶行列式的求解有两种办法,一种是利用拉普拉斯展开式,直接降阶为三阶行列式,这种计算方法的缺点是计算量大,至少要计算两个或两个以上的三阶行列式。而通过倍加造零后再降阶,造零后的四阶行列式最终可以直接转化成一个三阶行列式来计算。目标:先把四阶行列式的某一行(列)的三個元素变成零。为了使造零的过程简单些,再根据高职高专学生的水平基础,我们一般先找到最多零所在的行或列,最后留住一个1,造三个0;找到某一行就是横写,找到某一列就是竖写,写啥呢?写一个1,三个0,写完以后,记得明确横写,那么造零的过程只能列与列之间的倍加变换;竖写,那么造零的过程就只能行与行之间的倍加变换。这就是第一个技巧叫横写竖算或竖写横算。 以实际例子来示范,比如:,我们先找到最多零的第二行(也可以第四行,方法类似),写上一个1,三个0,;然后分析第二行的第一个、第二个元素都没有发生变化,所以代表着第一列和第二列的元素全部保持不变,再接着写完整就是,第一个步骤完成。接下来分析,真正要计算的元素实际上只有6个,这6个如何计算,利用倍加性质。先看第三个元素由变成0,利用倒推法,只有加上1才等于0,找1造0,相当于1只要乘以1倍还是1,因此得到第一列乘以常数1,再加到第三列,;同理可知第四个元素的造法,由2变成0,只有加上,相当于1只要乘以就行,因此是第一列乘以常数,再加到第四列,,这就是找1造零。最后再利用拉普拉斯展开式,转化成一个三阶行列式来计算。 综合起来: 这个解题技巧就是横写竖算,找1造0. 同理我们也可以进行竖写横算,比如我们找到最多零的第二列(也可以第四列,方法类似),按上述步骤,先竖写好1和0,,对比原式第一行和第二行没有变化,所以;第二步找1造0,第一行乘以加到第三行,第一行乘以加到第四行,;最后再降为三阶行列式计算。 综合起来: 利用横写竖算(竖写横算)和找1造0这两个技巧,高职高专的学生更容易找到解题的方法和诀窍,计算起来也更加准确清晰,不会被这么多数字搞迷糊。 当然,在倍加造零这条性质里,并不仅仅只能找1造0,其实找任何数字都可以造0,只不过按照高职高专学生的基础而言,找1造0是最简单也是最容易计算的,这种题型在实际求解题型中也是最多的。如果找其他数字造零,倍数有可能需要的是分数,而不是整数,计算起来相对复杂一些,但原理也是一样的。 比如上题,找0多的所在行(列)展开降阶,这一分析过程和前面是一样的,我们仍以第二列展开,第二行的4个元素1、0、3、1,如果不找1来造0,我们选择3来造0,那么3要把1变成0的话,1依旧加上才能等于0,但倍数要从3得到的话,只能是3乘以-13.因此是第三行乘以-13,再加到第一行或第四行。具体过程如下: 虽然最后结果也是6,但明显计算过程比前面复杂多了,因此我们选择找1来造0,是最便捷的选择。 三、结束语 对于高职高专学生而言,行列式的计算特别是高阶行列式的计算,在利用倍加性质的过程中数字计算确实比较容易混淆,有一定的难度,但只要抓住性质的本质,掌握解题的技巧,反复计算练习,就能突破难点,熟能生巧,解决问题。 参考文献 [1]彭玉芳,尹福源,沈亦一.线性代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2010. |
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