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浅析三角函数的有界性的应用

范文

王丹　张淑敏

【摘要】三角函数内容多，学生不容易掌握，所以本文从三角函数的有界性出发，利用有界性解五个有关三角函数的值域问题，让学生对三角函数的理解更加深刻，达到熟练三角函数的各种知识，以及提高学生的核心素养的最终目的.

【关键词】三角函数;有界性;值域

三角函数一直在数学课程中占有重要的位置.但因为其内容多，一直以来都是学生学习的难点.本文从三角函数的有界性出发，利用有界性解最值问题，提高学生对三角函数的理解.下面以五个典型的例题，体会三角函数有界性的应用.

例1 函数f（x）=asinx+b（a，b为常数），若f（x）∈[-7，1]，求bcosx最大值.

分析题中有隐含信息：三角函数有界性;定义域为x∈R.

解当a>0时，a+b=1，-a+b=-7. 解得a=4，b=-3.

当a=0时，不合题意.

当a<0时，a+b=-7，-a+b=1. 解得a=-4，b=-3.

综上b=3.

因为|cosx|≤1，所以|bcosx|≤3，即最大值是3.

这道题如果想不到正弦函数有界性的性质，那么解这道题就会有难度.

例2 求函数y=sinx+cosx+3，x∈-π4，π4的最大值.

分析这道题可以利用辅助角公式将其变形，然后利用三角函數有界性求解.

解 y=sinx+cosx+3=222sinx+22cosx+3=2sinx+π4+3.

又x∈-π4，π4，所以x+π4∈0，π2，

所以0≤sinx+π4≤1.

所以ymax=2+3

这道题考查学生对辅助角公式的应用与对三角函数有界性的熟练度.

例3 求函数y=sin2x-3sinxcosx-1（x∈R）的最大值.

分析先利用三角函数公式恒等变换，根据三角函数的有界性，可求出值域.

解 y=sin2x-3sinxcosx-1=12-sinπ6+2x.

因为|sinx|≤1，所以ymax=32.

这道题用到了三角函数中的降幂公式和辅助角公式，具有综合性.

例4 求函数y=2sinx-53sinx+4的最值.

分析根据函数的特点有两种做法：分离变量法;反函数法.

解法一（分离变量法）

y=2sinx-53sinx+4=23-233×13sinx+4.

由|sinx|≤1得ymin=-7，ymax=-37.

解法二（反函数法）

由y=2sinx-53sinx+4可得sinx=-4y+53y-2，

解之可得y∈-7，-37.

由以上解题过程，可知分数形式的三角函数利用有界性，有两种解法.

例5 在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值.

分析解这道题需要用到三角函数的积化和差公式和诱导公式.

解 cosAcosBcosC

=12[cos（A+B）+cos（A-B）]·cosC

=-12cos2C+12cos（A-B）·cosC.

令x=cosC，y=cosAcosBcosC，原式可化为x2-cos（A-B）x+2y=0，由判别式大于零，|cosC|≤18y≤cos2（A-B）≤1，可得y≤18.则最大值是18.

解这道题利用三角函数公式将原式化为二次方程，再结合有界性得出答案.

总结最值问题在数学问题解决中一直占重要地位，具有综合性.所以利用三角函数的有界性解三角函数的最值问题，可以提高学生对三角函数的理解，熟练三角函数的各种知识，达到灵活应用的状态，提高学生的核心素养.

【参考文献】

[1]肖桂宏.三角函数最值问题的基本题型分析[J].中国高新区，2018（11）：106.

[2]曹广明，刘成.三角函数中的最值问题求解[J].中学数学月刊，2017（11）：48-50.

[3]余东云.注重有界性，挖掘“隐”条件[J].数学学习与研究，2017（12）：125.

[4]王宁.高中数学最值问题的类型研究[D].西安：西北大学，2017.

[5]杨梅.三角函数最值问题的解题策略[J].科技资讯，2015（33）：134-136.

[6]章俊成.三角函数最值问题的解题技巧[J].新课程研究（职业教育），2008（9）：142-143.

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