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高考理科数学复习微专题

范文

蔡棉峰

高考对函数图像的考查常以选择题或填空题的形式出现，题目难度大都在中等或中等偏上.这部分内容对中等及以上程度的学生是易得分点，对中等以下的学生是易失分点，因此，进行系统的基础知识、基本技能梳理落实，题型整理，方法归纳总结，练习强化突破训练是很有必要的，也必将是有效的.

一、类型一：由式定图，即已知函数解析式选择图像（一般难度中等）

应对策略：小题小做，“让选项告诉我们答案”——看差异，找突破，快排除（快，准，狠）.

解决此类问题的关键是练就“火眼金睛”找差异，一般观察各选项图像的以下特征：

1.有无差异明显的“特殊点”;

2.从函数的定义域，判断图像左右的位置;从函数的值域，判断图像的上下位置（y值的正负，或变化趋势）;

3.从函数的单调性，判断图像的变化趋势;

4.从函数的奇偶性，判断图像的对称性;

5.从函数的周期性，判断图像的循环往复.

例1 （2016·全国卷Ⅰ）函数y=2x2-e|x|在[-2，2]上的图像大致为（）.

思路分析观察四个选项发现：

差异1：x=2时，y值的正负不一样，所以验证f（2）=8-e2∈（0，1），故排除A，B.

差异2：观察C，D两个选项，发现单调性不一样，只需验证x>0时的情况即可.设g（x）=2x2-ex，则g′（x）=4x-ex.又g′（0）<0，g′（2）>0，由零点存在定理知，g（x）在（0，2）内至少存在一个极值点，排除C.故选D.

例2 （2013·全国Ⅰ卷11）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0，ln（x+1），x>0. 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）.

A.（-∞，0]

B.（-∞，1]

C.[-2，1]

D.[-2，0]

思路分析第一步：問题转化为函数y=|f（x）|的图像整个在函数y=ax图像的上方.

第二步：数形结合.首先做出y=f（x）的图像，再翻折得到y=|f（x）|的图像，以其“静”制约函数y=ax图像之“动”.直线y=ax是一条过原点，斜率为a的动直线，绕着原点转动直线y=ax，不难发现满足题意的两条临界直线为：l1：y=0（此时a=0）;l2：与曲线y=x2-2x（x≤0）相切的直线，

令x2-2x=axx2-（2+a）x=0，由Δ=（2+a）2=0，解得a=-2.故选D.

例3 （河北省衡水中学2018年高考押题（三））已知函数f（x）=-x2-4x+5x≤1，lnx，x>1，若关于x的方程f（x）=kx-12恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）.

A.12，e

B.12，e

C.12，ee

D.12，ee

思路分析第一步：问题转化为函数y=f（x）的图像与函数y=kx-12图像有四个不同的交点.第二步：数形结合.首先做出y=f（x）的图像，以其“静”制约函数y=kx-12图像之“动”.

动直线y=kx-12恒过定点A0，12，转动直线不难发现：当直线过点B（1，0）时，与y=f（x）的图像有三个交点;当直线与y=f（x）的“右段”图像相切时也有三个交点，介于这两条临界直线之间则有四个不同的交点.经计算：kAB=0--121-0=12.

设y=kx-12与f（x）“右段”函数f（x）=lnx相切于点（x0，lnx0）.

∵f′（x）=1x，∴k切=1x0，∴1x0=lnx0--12x0-0

lnx0=12x0=e12k切=ee，

∴k∈12，ee.故选C.

二、类型二：与奇偶性，单调性（利用导数），周期性，对称性等的结合考查不等式，零点，极值等问题

应对策略：利用函数的单调性，奇偶性，对称性和周期性可得到函数图像的大体形状，然后利用图像的直观性解题.

例4 （吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试）已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈0，32时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是.

思路分析准确作图是关键！由f（x）=sinπx，得伸缩变化后的正弦曲线周期为2，易做出x∈0，32的图像，再由奇函数关于原点对称易做出x∈-32，0的图像，这样就得到一个周期的完整图像，但要注意到这是开区间，图像不包含三端点，要单独求三端点的函数值，很容易忽略，这是易错点.由奇函数得f（0）=0，f32=-f-32，再由T=3得f32=-f-32，所以得f32=0，最后利用周期性图像“周而复始”做出区间[0，6]的图像，与x轴共有9个交点，所以共有9个零点.

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