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标题 找共性,巧解三角形相似问题
范文

    刘怀富

    【摘 要】初中数学中三角形相似知识是一个教学重点,同时也是一个学生学习的难点,如何帮助学生轻松掌握这个知识点是教学中的一个难题。本文从近几年的期末考试题中找出解决这类题型的共性,可以帮助学生找到解决这类三角形相似问题的基本思路。

    【关键词】初中数学;教学;找共性;巧解题

    【中图分类号】G632 【文献标识码】A

    【文章编号】2095-3089(2019)07-0277-02

    三角形相似是初中数学的一个重要知识,同时也是一个难点知识。纵观近几年宜宾市九年级上册期末考试和中考,都会涉及三角形相似的相关知识,并且会出现在选择、填空的最后一题或最后的压轴题中,学生望而生畏。我做了近几年的九上期末和中考试题,发现命题者在这个知识点上的出题有两大共性,现总结如下,如有不当之处,望得到各位同行的批评指正。

    一、巧找两角分别相等,判“母子”型三角形相似

    (所谓为“母子”型三角形,即指小三角形包含于大三角形中,他们有一组公共角、有一组公共边。)

    例1:(2016秋,九上末第21題)已知AB∥CD,AD、BC相交于点E,点F在ED上,且∠CBF=∠D.

    (1)求证:FB2=FE·FA;

    分析:要证等积式FB2=FE·FA,因为

    线段FB、FE、FA在△FBE和△FAB中,

    只要证△FBE∽△FAB即可。

    这两个三角形是标准的“母子”型。

    证明: ∵AB∥CD,(已知)

    ∴∠A=∠D.(两直线平行,内错角相等)

    又∵∠CBF=∠D,(已知)

    ∴∠A=∠CBF(等量代换)

    ∵∠BFE=∠AFB(公共角)

    ∴△FBE∽△FAB(两角分别相等的两个三角形相似)

    ∴FBFA=FEFB(相似三角形的对应边成比例)

    ∴FB2=FE·FA (比例的基本性质)

    例2:(2014秋,九上末第22题)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB.

    (1)求证:△ABE∽△ACB;

    分析:△ABE与△ACB已有一组公共角,

    要证他们相似,只需再找一组角相等即可。

    这两个三角形是标准的“母子”型。

    证明:∵AB=AD,(已知)

    ∴∠ADB=∠ABD.(等边对等角)

    又∵∠ADB=∠ACB,(已知)

    ∴∠ABD=∠ACB(等量代换)

    即:∠ABE=∠ACB

    ∵∠BAE=∠CAB(公共角)

    ∴△ABE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)

    二、利用“三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和。”巧找角相等,判“等角对顶”型三角形相似

    (所谓“等角对顶”型三角形,即指这两个三角形有一组角对应相等且有一公共顶点,但两三角形相对,无包含关系。)

    例1:(2017秋,九上末第16题)如图,把等边△ABC沿DE翻折,使点A落在BC上的F处,给出以下结论:

    ①∠BDF=∠EFC;

    ②BD·CE=BF·CF;

    其中正确的结论有.(填序号)

    分析:因为△ABC是等边三角形,由题意可得

    ∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°,

    又由三角形外角定理得∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF

    所以易得∠BDF=∠EFC和△BDF∽△CFG,从而让问题得以解决。

    这两个三角形是标准的“等角对顶”型。

    解:①∵△ABC是等边三角形(已知)

    ∴∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°

    又∵∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF(三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和)

    ∴∠BDF=∠EFC(等式的性质)

    ∴①正确。

    ②由①得∠BDF=∠EFC,∠B=∠C=60°

    ∴△BDF∽△CFE(两角分别相等的两个三角形相似)

    ∴BDCF=BFCE(相似三角形的对应边成比例)

    ∴BD·CE=BF·CF(比例的基本性质)

    ∴②正确。

    ∴①、②正确

    例2:(2015秋,九上末第24题)如图,在△ABC中,已知AB=AC=10,BC=16, 点P在线段BC上运动(P不与B,C重合),连接AP,做∠APM=∠B,PM交AC于点M .

    (1)求证:△ABP∽△PCM;

    分析:这两个三角形是标准的“等角对顶”型。

    证明:∵AB=AC=10,(已知)

    ∴∠B=∠C(等边对等角)

    又∵∠APM=∠B(已知)

    ∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP

    (三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和)

    ∴∠MPC=∠BAP(等式的性质)

    ∴△ABP∽△PCM(两角分别相等的两个三角形相似)

    例3:(2014秋,九上末第16题)如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADB=∠B=α,DE交AC于点E,且sinα=35.下列结论:

    ①△ADE∽△ACD;

    ②当BD=2时,△ABD与△DCE全等;

    其中正确的结论是.

    (把你认为正确结论的序号都填上)

    分析:①小题中两个三角形属于标准的“母子”型。②小题中两个三角形属于标准的“等角对顶”型。

    解:①如图,∵AB=AC=5(已知)

    ∴∠B=∠C(等边对等角)

    又∵∠ADE=∠B=α(已知)

    ∴∠ADE=∠C=α(等量代换)

    又∵∠DAE=∠CAD (公共角)

    ∴△ADE∽△ACD(两角分别相等的两个三角形相似)

    ∴①正确。

    ②如图,作AM⊥BC于点M,

    ∵AB=AC=5(已知)

    ∴∠B=∠C(等边对等角)

    又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD(三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和)

    ∠ADE=∠B=α(已知)

    ∴∠EDC=∠BAD(等式的性质)

    ∴△ABD∽△DCE(两角分别相等的两个三角形相似)

    在Rt△ABM中,∵AB=AC=5,∠ADE=∠B=α,

    且sinα=35(已知)

    ∴sin B=AMAB=sinα=35

    ∴AM=3

    由勾股定理可得BM=4

    ∴BC=2BM=8(等腰三角形“三线合一”)

    当BD=2时,DC=6,而AB=AC=5

    ∴AB≠DC

    ∴△ABD与△DCE不全等。

    ∴②不正确。

    通过以上各题的对比,证三角形相似我们只要先看它属于哪种类型,然后对号入座,找到解题的突破口,便会起收到事半功倍的效果。但愿我的拙劣办提法对学生有所帮助。

    参考文献

    [1]叶立军.《初等数学研究》中第8章初等几何变换8.3 位似和相似变换.

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更新时间:2025/3/10 14:59:28