标题 | 找共性,巧解三角形相似问题 |
范文 | 刘怀富 【摘 要】初中数学中三角形相似知识是一个教学重点,同时也是一个学生学习的难点,如何帮助学生轻松掌握这个知识点是教学中的一个难题。本文从近几年的期末考试题中找出解决这类题型的共性,可以帮助学生找到解决这类三角形相似问题的基本思路。 【关键词】初中数学;教学;找共性;巧解题 【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)07-0277-02 三角形相似是初中数学的一个重要知识,同时也是一个难点知识。纵观近几年宜宾市九年级上册期末考试和中考,都会涉及三角形相似的相关知识,并且会出现在选择、填空的最后一题或最后的压轴题中,学生望而生畏。我做了近几年的九上期末和中考试题,发现命题者在这个知识点上的出题有两大共性,现总结如下,如有不当之处,望得到各位同行的批评指正。 一、巧找两角分别相等,判“母子”型三角形相似 (所谓为“母子”型三角形,即指小三角形包含于大三角形中,他们有一组公共角、有一组公共边。) 例1:(2016秋,九上末第21題)已知AB∥CD,AD、BC相交于点E,点F在ED上,且∠CBF=∠D. (1)求证:FB2=FE·FA; 分析:要证等积式FB2=FE·FA,因为 线段FB、FE、FA在△FBE和△FAB中, 只要证△FBE∽△FAB即可。 这两个三角形是标准的“母子”型。 证明: ∵AB∥CD,(已知) ∴∠A=∠D.(两直线平行,内错角相等) 又∵∠CBF=∠D,(已知) ∴∠A=∠CBF(等量代换) ∵∠BFE=∠AFB(公共角) ∴△FBE∽△FAB(两角分别相等的两个三角形相似) ∴FBFA=FEFB(相似三角形的对应边成比例) ∴FB2=FE·FA (比例的基本性质) 例2:(2014秋,九上末第22题)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB. (1)求证:△ABE∽△ACB; 分析:△ABE与△ACB已有一组公共角, 要证他们相似,只需再找一组角相等即可。 这两个三角形是标准的“母子”型。 证明:∵AB=AD,(已知) ∴∠ADB=∠ABD.(等边对等角) 又∵∠ADB=∠ACB,(已知) ∴∠ABD=∠ACB(等量代换) 即:∠ABE=∠ACB ∵∠BAE=∠CAB(公共角) ∴△ABE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似) 二、利用“三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和。”巧找角相等,判“等角对顶”型三角形相似 (所谓“等角对顶”型三角形,即指这两个三角形有一组角对应相等且有一公共顶点,但两三角形相对,无包含关系。) 例1:(2017秋,九上末第16题)如图,把等边△ABC沿DE翻折,使点A落在BC上的F处,给出以下结论: ①∠BDF=∠EFC; ②BD·CE=BF·CF; 其中正确的结论有.(填序号) 分析:因为△ABC是等边三角形,由题意可得 ∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°, 又由三角形外角定理得∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF 所以易得∠BDF=∠EFC和△BDF∽△CFG,从而让问题得以解决。 这两个三角形是标准的“等角对顶”型。 解:①∵△ABC是等边三角形(已知) ∴∠A=∠DFE=∠B=∠C=60° 又∵∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF(三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和) ∴∠BDF=∠EFC(等式的性质) ∴①正确。 ②由①得∠BDF=∠EFC,∠B=∠C=60° ∴△BDF∽△CFE(两角分别相等的两个三角形相似) ∴BDCF=BFCE(相似三角形的对应边成比例) ∴BD·CE=BF·CF(比例的基本性质) ∴②正确。 ∴①、②正确 例2:(2015秋,九上末第24题)如图,在△ABC中,已知AB=AC=10,BC=16, 点P在线段BC上运动(P不与B,C重合),连接AP,做∠APM=∠B,PM交AC于点M . (1)求证:△ABP∽△PCM; 分析:这两个三角形是标准的“等角对顶”型。 证明:∵AB=AC=10,(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 又∵∠APM=∠B(已知) ∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP (三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和) ∴∠MPC=∠BAP(等式的性质) ∴△ABP∽△PCM(两角分别相等的两个三角形相似) 例3:(2014秋,九上末第16题)如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADB=∠B=α,DE交AC于点E,且sinα=35.下列结论: ①△ADE∽△ACD; ②当BD=2时,△ABD与△DCE全等; 其中正确的结论是. (把你认为正确结论的序号都填上) 分析:①小题中两个三角形属于标准的“母子”型。②小题中两个三角形属于标准的“等角对顶”型。 解:①如图,∵AB=AC=5(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 又∵∠ADE=∠B=α(已知) ∴∠ADE=∠C=α(等量代换) 又∵∠DAE=∠CAD (公共角) ∴△ADE∽△ACD(两角分别相等的两个三角形相似) ∴①正确。 ②如图,作AM⊥BC于点M, ∵AB=AC=5(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD(三角形的一个外角,等于与它不相邻的两个内角和) ∠ADE=∠B=α(已知) ∴∠EDC=∠BAD(等式的性质) ∴△ABD∽△DCE(两角分别相等的两个三角形相似) 在Rt△ABM中,∵AB=AC=5,∠ADE=∠B=α, 且sinα=35(已知) ∴sin B=AMAB=sinα=35 ∴AM=3 由勾股定理可得BM=4 ∴BC=2BM=8(等腰三角形“三线合一”) 当BD=2时,DC=6,而AB=AC=5 ∴AB≠DC ∴△ABD与△DCE不全等。 ∴②不正确。 通过以上各题的对比,证三角形相似我们只要先看它属于哪种类型,然后对号入座,找到解题的突破口,便会起收到事半功倍的效果。但愿我的拙劣办提法对学生有所帮助。 参考文献 [1]叶立军.《初等数学研究》中第8章初等几何变换8.3 位似和相似变换. |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。