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浅析一类共点线的向量证法

范文

张三华

【摘要】本文用向量法证明了线共点分线段成定比的共点线问题和有垂直条件的共点线问题.这种方法简单，易于理解，计算量少.

【关键词】共点线;向量法;定比;垂直

共点线就是一些直线通过同一点，一般是证明三线共点，因为四条或四条以上的线共点问题可以转化为三线共点的问题.关于共点线的证明方法有：转化为三点共线、利用两线交于一点，其余的线也通过该点、利用已知的三线共点、利用Ceva定理等.本文利用向量的方法证明三线共点，方法简单，易于计算，不容易出错.

一、线共点分线段成定比的共点线的向量证法

线共点分线段成定比是指通过同一点的线段被该点分得的线段之比为定比，比如，空间四边形三对对边的中点的连线共点，且互相平分，即共点分得的线段之比为1∶1;三角形三条中线共点，共点自顶点起分线段为2∶1，等等.对这类共点线的证明，可以转化为证明点重合，再转化为证明有共同起点向量相等，从而解决问题.

例1 设四面体A1A2A3A4的每一个顶点Ai（i=1，2，3，4）的对面三角形的重心为Gi，试证A1G1，A2G2，A3G3，A4G4共点H，并且AiH=3HGi（i=1，2，3，4）.

证明如图1所示，在线段AiGi上取点Hi，使得AiHi=3HiGi（i=1，2，3，4），在空間取异于Ai，Hi，Gi（i=1，2，3，4）的一定点O，因此，有

二、有垂直条件的共点线的向量证法

两条互相垂直的线段，可以转化为互相垂直的向量.互相垂直的向量的数量积等于零，利用这个性质找到证明共点线所需条件，从而达到证明共点线问题.比如，三角形三条高线共点就可以用这种向量法进行证明.此方法思路便于理解，形象具体，计算量少.

例2 证明：△A1A2A3三边A1A2，A2A3，A3A1的垂直平分线分别为B3H3，B1H1，B2H2，其中B1，B2，B3是三边的中点，试证B1H1，B2H2，B3H3共点.

图2

证明如图2所示，设△A1A2A3的边A1A2，A2A3的垂直平分线交于点H，由题意知点，B1，B2，B3分别是边A2A3，A3A1，A1A2的中点，连接HB2，HA1，HA2，HA3，于是有HB1⊥A2A3，HB3⊥A1A2，即HB1·A2A3=0，HB3·A1A2=0，

【参考文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]朱德祥.初等几何研究[M].北京：高等教育出版社，2007.

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