标题 | 对一道三角函数求值题的思考与探索 |
范文 | 杨亚军
【摘 要】一题多解确实能启迪学生思维,但有些解法的局限性学生不一定能注意到。还有,刷题在当下也被绝大多数学生奉为提高数学成绩的不二法宝。笔者从对一道高考三角题多种解法的学习研究中,有了自己的困惑,进而做了一点粗浅的探索,认为这对于培养学生的质疑精神和数学推理能力,引导学生走出通过刷题学习数学的误区。 【关键词】解法探究;学法指导 【中图分类号】G634 ??????【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)09-0286-01 (2013年高考浙江卷理科6)已知α∈R,sinα+2cosα=〖SX(〗〖KF(〗10〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,则tan2α( ) A.〖SX(〗4〖〗3〖SX)〗 ?B.〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗 ?C.-〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗 ?D.-〖SX(〗4〖〗3〖SX)〗 此题答案为C,有许多种解法,体现了三角求值中变形的技巧或方程思想的运用.[1]但大多数方法都是先求得tanα=3或tan2α=-〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗,进而求出. 还有构造几何图形,猜想赋特殊值等方法.[2] 作为这道选择题,这些做法各有特点,给人启发.但笔者有一个困惑,这类题目中,tan2α的取值一定是唯一的吗?还是由于该题目中数据的特殊性,导致了此处的tan2α取值唯一呢?或者说,tan2α在什么种情况下,tan2α的取值唯一?在什么情况下,的取值不唯一? 为解决此问题,我们不妨设tan2α=a(a≠0),则a=〖SX(〗2tanα〖〗1-tan2α〖SX)〗 可化为:a tan2α+2tanα-a=0.设t=tan α,则at2+2t-a=0. ∵a≠0,且△=4(1+a2)>4>0 ∴关于t的方程at2+2t-a=0一定有两个相异的实根t1,t2,且t1·t2=-1. 至此,我心中的困惑解决了.当题目中的已知条件满足:两个tanα的取值之积为-1时,tan2α的取值唯一,否则必不唯一. 进而还可以得到这个结论:若tanα·tanβ=-1,则tan2α=tan2β. 当年浙江省的这道高考题中,tanα=3或-〖SX(〗1〖〗3〖SX)〗,满足3×(-〖SX(〗1〖〗3〖SX)〗)=-1,所以tan2α的取值唯一,是-〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗. 再比如:已知sinα+3cosα=〖KF(〗5〖KF)〗,求tan2α的值.可求得tanα=2或tanα=-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗,所以tan2α=-〖SX(〗4〖〗3〖SX)〗.(这里2×(-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗)=-1,所以tan2α的取值唯一.) 但对下面这道题目:已知sinα+3cosα=3,求tan2α的值. 解:由已知得3cosα=3-sinα,两边平方,整理得5sin2α-3sinα=0. ∴sinα=0,或sinα=〖SX(〗3〖〗5〖SX)〗. ∴〖JB({〗sinα=0cosα=1〖JB)〗或〖JB({〗sinα=〖SX(〗3〖〗5〖SX)〗cosα=〖SX(〗4〖〗5〖SX)〗〖JB)〗 ∴tanα=0或tanα=〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗 ∴tan2α=0或〖SX(〗24〖〗7〖SX)〗.(這里0×〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗=0≠-1,所以tan2α的取值不唯一.) 由此注意到,一些特殊解法,像构造图形、猜想赋特殊值等方法,对四选一的选择题确实很快捷,但这些解法往往掩盖了问题的实质,还可能形成隐患,导致学生在完成填空题或解答题时考虑不周全,因思维的不严谨而造成漏解等错误. 另一方面,也提醒我们在平时的解题中,可注重发掘和利用题目中数据的特殊性,以此简化分析及求解过程,快捷求解. 更重要的是,要培养质疑精神,在学习中多问几个为什么.尤其是面对题目或题目的解法时,要学会利用自己所学知识去研究题目.这样做,肯定费时间,但它一定能达到事半功倍的效果,一定比盲目的刷题更有效,也更能培养数学能力,提高数学学习成绩. 参考文献 [1]常国强,储瑞年主编.《中高考年鉴·数学卷2013年》,内蒙古少年为儿童出版社,2013.8:381-382. [2]蔡小雄主编.《更高更妙的高中数学一题多解与一题多变》,浙江大学出版社,2016.3(2018.1重印):22-24. |
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