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函数与方程思想在高中数学解题中的实践

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鲍科臻

【摘要】数学思想在我们的学习过程中扮演着重要的角色，它是将课堂理论知识转化为数学能力的桥梁.在数学概念中，函数主要描述了变量的变化情况，方程则主要反映了一个或多个变量之间的数值关系.学会运用这类思想是我们在高中数学学习阶段的重要任务目标，不仅可以提高我们的数学认知水平，对逻辑思维能力的养成也是有很大帮助的.为此，本文首先对什么是函数和方程进行了简要介绍，并分析了其思想的重要作用.其次，分别从解不等式问题、解析几何问题、数列以及随机变量分布问题等多个角度分析了其在各种类型的高中数学题中的实践.最后，本文提出了几点建议和策略，以期为同学们的学习和实践提供指导意义.

【关键词】函数与方程;高中数学;解题实践

数学思想是数学知识学习的精华和灵魂，其中函数和方程是数学思想的重中之重.它能够提高我们的数学素养，培养我们良好的思维习惯，也是教育改革的重要内容.因此，学生如何养成函数和方程的思想并在解题中加以运用成为广大教师和同学热切关注的话题.本文针对高中阶段的一些经典数学问题做了整理，敬请读者批评改正.

一、函数与方程思想的概念及意义

数学思想是我们将一些数学观念从书本内容上或者学习数学课程的过程中提炼出来，从而更加熟练和深刻地理解数学规律和本质.数学思想主要包括函数方程思想、数形结合的思想、化归的思想、极限的思想、归纳推理的思想以及分类讨论的思想等多种方式.其中，函数和方程思想是重中之重，在高中阶段的数学学习中占据了很大的比重.方程是根据我们所提出的问题找出其隐藏的数量关系，然后通过建立一定的模型来寻找问题的答案[1].函数与方程密切相关.一个函数具有奇偶性、周期性、单调性等特点.实际上，当我们在利用函数方法解决问题时，通常都是利用它的这些性质进行分析和解答的.

加强函数和方程方法在高中数学解题中的实践能力对高中阶段的学生来讲是十分有必要的.首先，有助于优化我们对数学结构的认知，更加深刻和清晰的进行逻辑推理，从而能够积极主动地对脑海中的知识结构进行梳理和重组.[2]其次，有助于良好的思维方式和严密的逻辑思维的养成，对以后的工作和生活也会有潜移默化的影响.最后，同样的数学思想能够解决多种数学问题，一种数学问题也可能包含多种的思想，能激发我们的学习兴趣和探索欲望，增强分析解决问题的能力.

二、函数方程思想在高中数学解题中的应用

（一）在不等式解题过程中的应用与实践

在高中数学中，不等式的证明和求解是高中数学中的常见问题.对这类问题，应用函数与方程的数学思想是解决问题的一个有效途径.通常我们首先经过一些变换建立函数或方程关系式，结合自变量和因变量的取值范围，通过函数的性质来解决问题.[3]

例1 已知a，b，c为实数，且绝对值均小于等于1，证明：ab+bc+ca+1≥0.

分析对此，如果我们只看已知条件的话往往感觉无从下手，因此，不妨运用函数的思想换一个角度来思考，由于a的取值范围在[-1，1]之间，因此，构造自变量a的一次函数f（a）=ab+bc+ca+1，这时只需证明f（-1）和f（1）均大于或等于0就可以了.

（二）在解析几何解题过程中的应用

由于一般的几何图形如圆、椭圆、直线、双曲线等都可以由一个函数解析式来表示，因此，在求解几何问题时，运用此类方法也是历年高考或竞赛的重点，[4]可以判断几何图形的位置关系，求解定点、取值范围以及面积等问题.其解题思路大致由引参—构造方程组—消参—求值等步骤来完成.[7]下面由一个实例来具体体会一下其在解析几何中的应用.

例2 已知是椭圆C的解析式为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点的坐标为F（1，0），右顶点为A，且|AF|=1.

（1）试求椭圆C的标准方程;

（2）假设有一条动直线l：y=kx+m，其與椭圆C有一个交点P，与直线x=4的交点为Q，求定点M（t，0），使MP·MQ=0.

每一种数学思想和数学方法都不是独立产生的，它们之间相互联系相辅相成，是不可分割的整体.尤其是当我们在解决相对比较复杂的数学问题时，往往需要采取多种数学方法运用多种数学思想来共同完成解答.[6]例如，在解决二次函数的最值、指对数函数的单调性等问题时需要我们结合分类讨论的思想按照一定的方法将研究对象进行讨论，然后在运用归纳与总结的方法对每一种情况得到的结论进行综合，从而得到最终的答案.方程的思想还可以与函数的思想、数形结合的思想相结合，能够根据函数图像的单调性、极值、周期性等特征更加直观快速地找到问题的答案.

例4 求解方程2-x+x2=3的实数解的个数.

分析直接求解方程的解对本题来说是行不通的，将方程的思想与函数的思想以及数形结合的思想结合起来能够使问题简单化.因此，观察方程的特点，构造一个指数函数f（x）=12x以及一个二次函数g（x）=-x2+3，做出两个函数的图像如图所示，于是该题目将复杂的方程的求解问题转化为求两个函数的交点，问题就迎刃而解了.从图2中可以看出，一共有两个交点，因此，本题的答案为原方程有两个实数解.

三、加强函数方程思想在高中数学解题实践的策略

经过上面多种类型题目的解答过程，我们不难看出函数和方程思想在解题过程中的重要地位，从上述例子中可以体会到不同的方法在解题过程中所花费的时间和精力是不一样的.正确的解题思想和有效的解题办法能够大大提高我们的解题效率和正确率.因此，如何有效加强数学思想的运用引起了越来越多的学生和教师的重视.本文根据在高中阶段学习数学的经验以及在解题过程中的体会，提出了以下几点值得我们注意的地方.

首先，经过大量的数学习题的练习是提高解题能力的必经之路.所谓见多识广，我们要建立正确的解题观念，通过接触不同类型的经典习题，并仔细揣摩其出题者的意图、题目所考查的知识点.

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