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非欧几何带给我们的启示

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韩志涛

【摘要】历史上有一些事件影响深远，这样的事件之所以影响深远，是因为它们改变了人们的观念，然而历史上还没有哪个事件像非欧几何这样深刻地改变了人们的世界观，带给人们的是空前绝后的震撼，本文阐述了非欧几何的基本原理和它的影响，起到了用历史警示后人的作用。

【关键词】欧式几何 ?非欧几何 ?相对论 ?黎曼几何

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0229-02

非欧几何带给数学的是震撼，同样的，带给物理学以及宇宙学的都是前所未有的震撼，因为它彻底地改变了人们的常识和观念，至今仍然有着无穷的魅力。什么是非欧几何呢？

欧几里得的《几何原本》至今仍然是中学平面儿何的基石。《几何原本》五条公设中，前四条都容易验证，比方说，过平面上的两个点，可以而且只能连一条直线。但是人们发现，第五公设“在平面上，过直线外一点，可以作一条平行于原来线的直线并且只能作一条直线”，这个结论很难用什么方法验证。

可以看出，欧几里得本人也不太相信这一公设，所以总是尽量避免直接引用它去证明其他问题。因此在《几何原本》中，前28个命题的证明中没有用到第五公设，直到第29个命题时，才不得不用第五公设。

1815年，罗巴切夫斯基开始研究第五公设，经过10年的冥思苦想，公开声明，人们不能用其他公设、公理来证明第五公设，并得到了一条与第五公设相反的公理，即经过直线外一点，不是只能作一条，而是至少可以做两条直线和已知直线平行。由其他原来公设，公理和修改了的公理体系，形成了新的非欧几何学，其中的严格证明类似于欧几里得几何：这种新的几何学称之为罗巴切夫斯基几何。

从罗巴切夫斯基建立的公理体系，通过逻辑推理的，可以得出与欧几里得几何完全不同的定理。

“如两个平行线之间的距离不一样”;

“三角形三个内角之和居然小于180°等”;

“没有矩形存在”;

“彼得格拉斯定理不再成立，需要换成更复杂的公式”;

“三角形的面积不能任意大”。

看到这些命题，人们一定会很惊讶，这些命题符合我们的生活经验吗？非欧几何到底是什么？有什么用呢？

高斯很早就提出了非欧几何的轮廓。但是，他生前始终没有发表这一成果，高斯的同学伏尔刚·鲍耶曾经研究第五公设，并且终其一生，毫无成就，内心充满了失望。其子约·鲍耶也去钻研这一难题，而且在彼此并没有通讯的情况下发表非欧几何的成果，但是比罗巴切夫斯基迟了几年。因此，约·鲍耶也成为非欧几何的创始人之一。

约·鲍耶得到了新的几何，称之为绝对空间中的几何，许多结果与高斯的结果是一致的，如正弦定理为：

罗巴切夫斯基发表非欧几何以后得到的是什么呢？他得到的并不是荣誉，而是人们的冷嘲热讽，人们并不接受他的思想，而是把它当作奇谈怪论，不切实际的东西，人们认为欧式几何才是这个世界的真实描述，罗巴切夫斯基备受挖苦与攻击，他们说，欧几里得两千多年前给我们留下的巍巍宝殿的基石被人挖去，这座神圣的殿堂会倒塌。学报呈报给俄国科学院后，也被审稿的院士轻率的认为，不值得科学院去注意而否定了。可见传统的观念多么强大。

继罗氏几何后，德国数学家黎曼在1854年又提出了新的非欧几何，这种几何中：同一平面上的任何两直线一定相交。同时，还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里，有不同于欧氏几何的地方，三角形的内角和大于两直角。人们把这种几何称为椭圆几何。

为了考查更一般的几何，黎曼考虑了一般的度量：

这种空间具有常数曲率，是非欧几何很好的模型。

可以想象一個球面，球面是没有直线，球面上两个点之间的最短线是大圆，而大圆和大圆都是相交的。任意三个大圆构成的三角形，内角的和超过180度。

人们要问传统的几何与罗巴切夫斯基几何不同之处是什么呢？主要是公理系统，第五公设变成了 “在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线或者两条以上和这条直线平行”，只有这么一个地方做了改动，其他公理基本保持不变。但是由于平行公理替换了，经过同样的演绎推理，得到的一连串新的几何命题却是让人目瞪口呆，因为和欧式几何内容完全不同。

现在来看两种几何，罗氏几何中除了一个平行公理之外，其他的都是欧式几何的存在的公理。因此，一个几何命题是否正确主要是看它是否涉及到平行公理，如果不涉及平行公理，则它在欧式几何中是正确的，在罗氏几何中也同样应该是保持正确性的。相反，在欧式几何中，一个命题只要涉及到平行公理，在罗氏几何中应该都不能够成立，他们都应该有了新的几何意义。由于违反常识，罗氏几何中的很多几何定理不像欧式几何那样容易被人们接受。但是，数学家们研究发现，用欧式几何中的事实，作一个直观“模型”来解释罗氏几何应该是可行的。

伟大的数学家高斯离开世界以后，人们在整理他的书稿时，吃惊地发现，高斯也曾经深入地研究了非欧几何，由于高斯的无与伦比的威望和才能，人们对非欧几何的责难的声音才渐渐地微弱了，非欧几何，一改过去长期无人问津的局面，开始获得数学家的普遍注意和深入研究，并且取得了许多新的成果，学术界高度评价和一致赞美罗巴切夫斯基，他的独创性研究也就得到广泛承认，人们称赞他为“几何学中的哥白尼”。

德国伟大的数学家黎曼在十九世纪创立了黎曼几何。黎曼几何中的一条定理是：在同一平面内任何两条直线（这里指的是测地线）都应该有公共点。在黎曼几何学中，平行线是不存在的，它的另一条公设讲的是：直线（测地线）可以无限延长，但总的长度是有限的，即曲线可能是封闭的。如球面上的大圆都是有限的长度。

虽然这个世界上有了非欧几何，有了黎曼几何，但是这些几何的意义是什么，是纯粹的数学上的逻辑上的游戏，还是能够在现实生活中找到它的真实的用途。如果没有现实生活中的应用，那么这种几何就是一种逻辑推理，一种数学游戏，它的意义仅仅是正确而无用的逻辑，到底是什么呢，不论非欧几何函数黎曼几何，作为一种数学工具，自从被发现就一直被搁置起来，束之高阁，无人问津。直到爱因斯坦登上历史舞台。

爱因斯坦在二十世纪初先是创立了狭义相对论，然后创立了广义相对论。在广义相对论里，近代黎曼几何得到了重要前所未有的应用。黎曼几何构成了广义相对论中的数学基础和基本的框架。在广义相对论里，伟大的物理学家爱因斯坦改变了关于时空均匀性的观念，即他认为时空只是在充分小的空间里，近似性地均匀的，但是，整个物理世界，整个时空却是不均匀的。黎曼几何的观念恰恰解释了物理学的这种性质。爱因斯坦的这一发现，为非欧几何，黎曼几何找到了生活中的模型，让人们第一次感觉到了震撼。

他的发现，彻底改变了人们的世界观，彻底的改变了人们熟悉的世界，震撼了人们心灵，改变了人们的传统观念，是一个轰动世界的事件。

长期以来，人们太熟悉周围的世界了，人们已经习惯于世界是平坦的、平直的，时间是均匀的流逝的，可是，爱因斯坦的相对论让人们认识到，我们熟悉的东西不一定是正确的，爱因斯坦的相对论的数学基础是黎曼几何，是非欧几何，这是罗巴切夫斯基，高斯，约·鲍耶的努力的结果，也是爱因斯坦的幸运。很多历史上的发现，由于没有相应的数学，而不得不推迟，而爱因斯坦是幸运的，在他创立相对论的时候，数学家已经为他准备好了需要的数学工具。反过来，罗巴切夫斯基，高斯，约·鲍耶这些数学家也是幸运的，他们潜心研究的数学，由于爱因斯坦的贡献，使得这个数学不单单的逻辑上的推演，不单单是一种逻辑游戏，而是在现实生活中能够找到它的原型。这样的相辅相成的优美的故事真的是千古流传。

人们研究了2000多年的第五公设引起了十九世纪非欧几何的产生与发展，这个发展引起了人们对数学本质的深入探讨，非欧几何对现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展影响巨大：像当年的日心说一样再次震撼人们的心灵，彻底的改变了人们的观念。使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。

非欧几何的重大意义在于，几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念、物理观念、时空观念，几何学的研究对象发生了很大的变化，最初是图形的性质，后来是抽象空间，更一般的数学空间形式，一个崭新阶段几何的研究和发展进入了抽象研究阶段。

随着非欧几何的产生，一些重要数学分支诞生并且发展起来。

一个重大问题的解决，往往需要许多代人的共同努力，才能取得成功，而后人总是“站在前人的肩膀上”的。

今天，人们把这种新的几何叫作罗氏几何，为什么呢？人们普遍认为非欧几何的第一个发现者是数学家高斯。但是在整个过程中，只有罗巴切夫斯基面对狂风暴雨无所畏惧，他始终没有屈服舆论的压力，坚定地相信自己的几何学的创新思想的正确性和革命性，以自己的实际行动表现出捍卫真理的坚定性和彻底性。而鲍耶则在受到打击的时候退缩，高斯始终不敢公开发表自己的成果。因此，人們没有把非欧几何叫作高斯几何或者鲍耶几何，而是称为罗巴切夫斯基几何。并且把罗巴切夫斯基宣读论文的那一天，1826年2月23日，定为非欧几何诞生的日子。

参考文献：

[1]M.克莱因著.《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1979年.

[2]亚历山大洛夫等著.《数学——它的内容、方法和意义》，科学出版社，1962年.

[3]黄汉平.《饱经磨难的“非欧几何”》，科学家杂志，1986年第6期.

[4]李心灿，黄汉平著.《数坛英豪》，科学普及出版社，1989年.

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