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数学变形的原则与方法

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杜厚寿

【摘要】数学解题的实质是从已知条件出发，逐步寻求可知，进而求得结论达到未知的系列思维链.其呈现形式是一系列从条件或结论出发进行的命题转化过程——数学变形过程.文章从为什么要变形（变形目的），向什么方向变形（变形方向），用什么手段变形（变形手段）三个方面给出了思考分析的一般原则与方法.

【关键词】数学变形;变形原则;变形手段

解题的表述过程就是从条件或结论出发进行的一系列命题转化过程，即数学变形过程.为什么要变形（变形目的）？向什么方向变形（变形方向）？用什么手段变形（变形手段）？是我们首先要回答的三个主要问题.本文试图给出其一般原则与方法，以期对读者有所帮助.

一、变形方向的确定——变形原则

一个式子与命题，往往存在多种可能的变形方向与途径（可以赋予无数种运算与变形），走哪条路好？怎样走才最有利？如何选取并确定最佳变形方向就成了解题的关键.一般地，应遵循如下原则：

① 熟悉化原则;② 求简原则;③ 求同原则;④ 直观性原则;⑤ 逆反原则.

（一）熟悉化原則

熟悉化原则是所有原则中最常用、最基本的原则.许多重要的思想与解题策略都可以看作是熟悉化原则的具体应用，如几何中空间向平面、曲线向直线转化;解析法;代数中消元、降次、复数法、换元法、抽象向具体，变化向确定转化等等.

（二）求简原则

求简原则指在解题过程中，往往要从问题的复杂处入手，逐步化繁为简.立体几何中，空间向平面转化;代数证明中往往从复杂的一边入手，逐步化简到另一边，将证明过程变成一个化简过程;代数变形中消元、降次等等都是求简原则的具体运用.

（三）逆反原则

差异就是矛盾.数学变形就是矛盾的运动.在解题过程中，让矛盾的双方各自向其对应面转化，这就是逆反原则.如，主元与辅元，已知与未知，常量与变量，一般与特殊，升幂与降幂，消元与添元，直接与间接等等，在变形过程中经常进行相互转化.

评注常量与变量是一对矛盾，在一定条件下也可以相互转化，有些问题不妨将常量视为变量，变量视为常量，则达到出奇制胜的效果.

（四）直观性原则

数与形是客观事物不可分离的两个数字表象，它们有着各自特定的含义，同时又存在着密切的联系.从不同侧面反映着数学问题的本质，充分利用形的直观性来揭示数字问题的本质属性，将代数问题转化为几何问题求解，这就是直观性原则.

（五）求同原则

对称、和谐、简单、统一，体现了自然界的美，也是数字美学原则之一.消除条件结论中的差异，从而达到和谐、统一，即数字变形中基本原则之一——求同原则.

评注求同原则主要有两种表现形式：① 条件向结论化同，为了推出结论;② 结论向条件化同，为了应用条件.

寻找差异，抓住联系，促进转化，达到统一是一条适用范围很广之变形原则.

三角函数恒等变形中变角法，升降幂法，解题方法中的拼凑变形都是求同原则的具体运用.

二、如何变形——变形手段

常用的变形手段有：拼凑变形，公式变形，代换变形与数形转换.

（一）拼凑变形

有人说解题过程，无非是猜和凑，有道理.猜，就是猜测解题方向;凑，就是凑此方向.对证明题，因为结论已给，方向已明，所以需要的主要是凑的功夫了.

特别地，在数学归纳法的证明中，第二步的证明可以归结为“两凑”.一凑假设，为的是应用假设的结论;二凑结论（n=k+1时命题的形式）.

（四）数形转换

兼顾数形两个方面，借助数形转换来研究问题，① 赋予“数”“形”特征.利用图像的直观性，加深对问题本质的理解，避免繁杂运算.② 给“形”定“数”，然后通过对数与方程的研究，实现问题的解决.

以上总结了数学变形中的常用手段，数学变形的手段是丰富多彩，多种多样.需要同学们从解题实践中不断总结积累，从而使自己分析问题解决问题的能力得到锻炼与提高.

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