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标题 开式投入—产出模型探讨
范文

    何裕平

    

    [摘 要] 利用线性代数知识探讨在生产管理等方面的应用。通过建立问题的数学模型,解决人们生活中实际的问题。

    [关 键 词] 线性代数;数学模型;开式投入—产出模型

    [中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2018)06-0163-01

    开式投入—产出模型的研究对象是k个企业组成的经济系统。它与闭式投入—产出模型的不同点在于:(1)产品除了满足本系统的内部各企业的消耗外,还有一部分产品满足经济系统外部的要求。(2)产品的价格是固定的。(3)每个企业的产量与需求是平衡的,所求的是各企业的产量。因为价格是固定的,所以可以用各企业产值来衡量产量。

    设1.xi为第i个企业的总产值,xi≥0 (1)

    2.di为系统外部所需求的第i个企业的产值,di≥0 (2)

    3.cij第j个企业生产单位产值所需用第i个企业的产值,cij≥0

    由此得到向量x,d和矩阵c,x=x1x2…xk称为生产向量d=d1d2…dk≥0,称为需求向量,c=c11 c12 … c1kc21 c22 … c2k… … … …ck1 ck2 … ckk≥0 称为消耗矩阵,从cij和xj的定义,可以得出■cijxj是第i个企业消耗于经济系统内部的产品总值。因而xi-■cijxj是第i个企业可供外部使用的产值。它应该等于系统外部需求量di。另一方面■cijxj,又正好是列向量cx第i个分量,因此我们得到下列方程

    x-cx=d (3)

    即(I-c)x=d,因為c与d是已知的,可求x。

    实际上,人们希望经济系统对任何外部需求都有唯一的生产方案,即(3)对任何需求向量d≥0都有非负的唯一解,消耗矩阵c应满足一定的条件。可以证明:若消耗矩阵c的任何一行(或一列)元素之和都小于1,则有非负的唯一解。

    例 某镇有三个主要企业:煤矿、电厂和铁路。设在一周内,每个企业生产1元产值的消耗以及外部对各企业产值的需求量列表如下:单位(元)

    为了恰好满足内外全部需求,问每个企业一周内产值各为多少元?设:煤矿、电厂、铁路一周总产值分别为x1,x2,x3则有生产向量x=x1x2x3需求向量d=50000250000,消耗矩阵c=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0,方程组(I-c)x=d为1 -0.65 -0.55-0.25 0.95 -0.1-0.25 -0.05 0x1x2x3=50000250000

    因为系数矩阵可逆,所以解为

    x=x1x2x3=(I-C)-1=■756 542 470220 690 190200 170 63050000250000=1200875616328330

    通过实例,利用开式投入—产出模型,解决了我们生活中实际的问题。

    参考文献:

    [1]David C.Lay线性代数及其应用[M].机械工业出版社,2005.

    [2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2011.

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更新时间:2025/3/12 0:29:08