标题 | 例谈算法中的交汇问题 |
范文 | 陈国林 1. 引言 算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类,它的考查方式十分灵活,具有常考常新,活而不难的特点.并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点. 2. 算法综合试题呈现 2. 1算法与概率、统计的交汇问题 【例1】随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1),在样本的20人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190)的人数依次为A1,A2,A3,A4. 如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图.若图中输出的S=18,则判断框内应填________. 【解析】由于i从2开始,也就是统计大于或等于160的所有人数,于是就要计算A2+A3+A4,因此,判断框应填“i<5?”或“i≤4?”. 【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量: ①计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i=i+1. ②累加变量:用来计算数据之和,如S=S+i. ③累乘变量:用来计算数据之积,如p=p×i. 2. 2算法与三角函数的交汇问题 【点评】本题是条件结构的程序框图,条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中,解决此类问题必须准确判断输出结果时的判断条件,否则极易出错. 2. 3算法与函数的交汇问题 【例3】执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的S属于( ) 【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中,恰好可看做为分段函数的算法表示,充分体现了分类讨论的思想,解决此类问题务必需要分清各层条件的逻辑关系. 2. 4算法与不等式的交汇问题 【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后需要严格根据算法程序步骤执行其流程要求,如果对于比较复杂的循环程序,可以将每个变量进行一一列出,这样便于发现和总结规律,如等差、等比数列通项、周期以及前n项和等;如果循环次数较少,可以将其全部列出.也可直接通过观察,对程序框图内容进行初步判断,例如本题实为裂项法求数列的和,然后求解即可. 2. 6算法与数学文化交汇问题 【例6】“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”,执行该程序框图(图中“aMODb”表示除以的余数),若输入的a,b分别为675,125,则输出的a=( ) A. 0 B. 25 C. 50 D. 75 【解析】当a=675,b=125,c=aMODb=100,a=125,b=100,此时c=100,否,c=125MOD100=25,a=100,b=25,否,c=100MOD25=0,a=25,b=0,c=0,是,输出a=25,选B. 【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点,此类问题归根到底就是由数学文化引出数学背景,实质还是算法的交汇问题,有时还会以新定义或是新运算的形式考查学生对新信息的处理能力. 3. 跟踪训练 1. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入的,分别为30, 18,则输出的a值为( ) A. 0 B. 2 C. 6 D. 14 【解析】由程序框图可以知道:当a=30,b=18时,满足a>b,则a变为30-18=12,由b>a,则b变为18-12=6,由b 【解析】当条件x≥0,y≥0,x+y≤1不成立时输出S的值为1,当条件x≥0,y≥0,x+y≤1不成立时S=2x+y,下面用线性规划的方法求此时S的最大值.作出不等式组x≥0,y≥0,x+y≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线S=2x+y经过点M(1,0)时S最大,其最大值为2×1+0=2,故输出S的最大值为2. 4. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积无限接近圆的面積,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”,如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序,则输出的n值为( ) 【解析】由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0,当f(x)=cosx,x∈[-1,1]时满足,然后进入第二个判断框,需要解不等式f(x)=-sinx≤0,即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]. 6.(2016·成都诊断)图1是某地区参加2017年高考的学生身高的条形统计图,从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A1,A2,A3,…,A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数). 图2是图1中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法程序框图. 现要统计身高在[160,180)内的学生人数,那么流程图中判断框内整数k的值为__________. 【解析】依题意,注意到身高在[160,180)内的学生属于第4组至第7组,因此结合题中的程序框图可知,流程图中判断框内整数k的值是7.故填7. 4. 结语 算法考查是高中数学重要的知识系列,难度一般不大,它注重知识的基础性、综合性、交汇性和创新性. 由于交汇型的试题不仅能够全面的考查知识之间的内在联系,而且能够考查学生的基础知识和基本技能,在历年高考中算法考查注重基础,因此每位考生都需要做到细心应对,方能胜券在握. 责任编辑 徐国坚
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