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如何做好几何学科入门阶段的教学工作

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赵清艳

平面几何是研究平面内图形的性质、大小、位置关系的一门学科，进入平面几何学习，需要 “由数转入形”“由运算转入推理”“由直观思维和形象思维转入抽象思维和逻辑思维”.学生往往因定式思维的影响或新思维形成较慢而跟不上教学进度，给几何学习造成一定困难.

“相交线、平行线”是几何学习的开始阶段，也是几何证明的入门阶段.在这个阶段，教师要帮助学生跟上进度，保持兴趣，保证质量，可采取如下教学策略：加强学生对几何语言的理解和掌握；帮助学生系统掌握知识，熟练推理过程；使学生会正确分析、叙述证明过程.

本阶段教学的主要目的是让学生掌握平面内两条直线的位置关系及基本性质，学会运用这些知识进行基本证明，这也是本阶段的教学难点和重点.

学生在这个阶段遇到的困难一般包括以下几个方面：

1.对“几何语言”认识模糊，互译不对应，不熟练；

2.对基本的推理过程不熟悉；

3.不善于准确叙述证明过程；

4.对证明题前的分析过程缺乏了解和训练；

5.不善于选择合适的方法；

6.对知识缺乏系统的理解和掌握.

笔者针对这些情况进行了初步的分析和研究，采取了如下教学策略：

一、加深理解、加强训练

1.理解几何语言中的逻辑关键词

几何语言包括文字语言、符号语言和图形语言，三位一体.其中文字语言既科学又简洁，寓意深刻，字斟句酌，便于理解和记忆，教师要对逻辑关键词加以分析和强调，比如“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中的“有且只有”就是关键词，“有”表示存在，“只有”表示唯一，意思是肯定有一条直线并且不能多于一条.再如“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的“在同一平面内”是关键词，要正确理解.不在同一平面内也存在不相交的两条直线（高中的异面直线）。在几何学习中经常会出现关键词，例如“如果…那么…”“或”“且”“确定”，等等。帮助学生正确理解关键词有利于提高他们的逻辑思维能力.

2.正确理解文字语言的实质

对于概念性文字语言不能“顾名思义”，如“对顶角”并非“顶点相对的角”；“点到直线的距离”并非“垂线段”；对顶角相等的原意是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.帮助学生抓住概念的实质，掌握几何结论“缩略“的来源是学生学好几何的关键.

3.提高几何语言的互译和识图、画图能力

几何定义、公理、定理、性质是几何语言互译的最好载体.反复进行画图操作和纠正是提高学生识图画图能力的有效途径.比如“过一点做已知直线、线段、射线的垂线”，须经过多次画图训练才有可能达标.

二、系统掌握、熟练过程

从学会填充理由，掌握简单推理证明入手。

几何证明以“ ∵ ……. ∴ …….”形式出现，这种格式反应了几何证明的实质是正确的推理，即由已知推出未知的过程.证明的格式主要是三段论式运用，即演绎推理的运用，三段论包括大前提、小前提和结论，比如三段论：

公理：同位角相等，两直线平行（大前提）

所证明的题目存在：两条直线被第三条直线所截，一组同位角相等（小前提）

则这两条直线平行（结论）

关键是三段论从一开始就是一种灵活运用的形式，因为没有固定的格式，所以不能直接把方法教给学生，只能反复训练，有效指导.

初一教材中的内容大多是由学生填充推理来渗透的，学生只有在学习中注意观察、认真体会才能熟练推理格式，这就要求学生对题目条件、性质、定义、公理、定理等做到心中有数.例如：

已知：如图：∠BED=∠B+∠D求证：AB∥CD.

证明：经过点E画EF∥AB

（经过一点有且只有一条直线平行于已知直線）

∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）

∴∠BED=∠B+∠D（已知）

∠BED=∠BEF+∠DEF（画图）

∴∠D=∠DEF（等量代换）

∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）

∴AB∥CD（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）

上述证明过程三次出现平行而理由各不相同，这就要求学生对几何知识系统化，证明方法系统化，而有些定理甚至不是独立的，而是以前学过的某些知识的推理，这时就应还它本来面目.

例如“三角形两边之和大于第三边”这一定理就应作为“两点之间线段最短”这一公理的推理，又如“直角三角形的的两个锐角互余”是“三角形内角和定理“的变形.另外在计算过程中要强调推理，推理指导计算也是培养推理能力的重要途径.

三、正确分析、清楚叙述

在证明之前应在头脑里独立思考：什么该写，什么不该写，什么须先写，什么要后写，从逻辑上保证严密性和条理性.而分析法和综合法是培养学生对几何证明过程的分析能力和叙述能力的直接途径.分析法是由求证结论出发，逐步寻找求证的条件，推理方向是逆向的：若C成立需B成立，若B成立需A成立……而综合法就从求证条件出发，逐步推理，得出结论，推理方向是正向的，即把以上形式反过来：由A得B，由B得C.

初一教材要求学生会独立证明比较简单的题目，要求学生知道证明一般命题的步骤：（1）审题；（2）画图；（3）写出已知、求证；（4）分析；（5）证明.教师在平时的推理训练中，应使学生掌握推理的两种基本形式，即综合法和分析法，但切记不要直接交代，而应渗透，使潜意识形成习惯.

例如：证明两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么同位角也相等.

首先第一步引导学生把文字语言转化成符号语言和图形语言.

已知：如图，∠AEF=∠EFD

求证：∠GEB=∠EFD

引导学生分析：欲证∠GEB=∠EFD，只需AB∥CD，而已知∠AEF=∠EFD，所以AB∥CD是成立的（分析法），从而得出证明（综合法）.

证明：∵∠AEF=∠EFD ，（已知）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∴∠GEB=∠EFD（两直线平行，内错角相等）

还可以启发引导学生另外的证法，让学生学会选择和运用有关知识和方法进行证明.在平时证明训练时，也应注意一题多变，一题多法，以便培养学生的逻辑思维能力和几何证明能力.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com

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