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利用平面向量求最值

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王永红

[摘 ? 要]最值问题是中学数学中最常见的问题之一，也是中学数学的教学重点和难点，还是各位考试专家的掌上法宝，在各级各类考试中频繁出现.最值问题多有技巧性强、难度大、解法灵活等特点.因此，最值问题也是学生学习数学的拦路虎，学生常由于最值问题而害怕数学.其实解决最值问题并不难，最重要的是要掌握解题的方法和技巧.平面向量法就是解决最值问题的一种有效方法.

[关键词]平面向量;最值;不等式

[中图分类号] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文献标识码] ? ?A ? ? ? ?[文章编号] ? ?1674-6058（2019）26-0026-02

最值问题是中学数学中最常见的问题之一，也是各位考试专家的掌上法宝，在各级各类考试中频繁出现.高考和各类竞赛考试中出现的最值问题，常见的类型是数量积的确定、最值的求解等.它们有技巧性强、难度大、解法灵活等特点.因此，最值问题也是学生学习数学的拦路虎，很多学生由于最值问题而害怕数学.就连一线教师也常对最值问题感到头疼.其实最值问题并不难，要有效破解最值问题，最重要的是掌握解题的方法和技巧.下面笔者就对利用向量法求最值进行探讨.

一、不等式恒成立时参数的最值

[例1]已知正数使不等式[x+y≤ax+y]对于一切[x，y]恒成立，求[a]的最小值.

解：构造向量[a=x ?， ?y ?， ?b=1 ，1 ?，]由于[a?b≤] [a?b]，得[x+y≤2x+y]，当且仅当[a]与b共线时等号成立，得[a]的最小值为[2].

方法总结：解答本题的关键在于构造平面向量，利用绝对值三角不等式[a?b≤a?b]，当且仅当[a]与b共线时等号成立，得出不等式[x+y≤2x+y]成立，从而得到[a]的最小值.

二、变量的最值

[例2]已知[x+y+z=5，xy+yz+zx=3]，且[x，y，z]都是实数，求[z]的最大值.

解：由题可得 [x2+y2+z2=x+y+z2-2xy+yz+zx=19]，构造向量[a=x，y ，b=1，1 ，]由于[a?b≤a?b]得[（x+y）2≤2（x2+y2）]，即[（5-z）2≤2（19-z2）]，所以[3z2-10z-13≤0]，解得[1≤z≤133]，当且仅当a与b共线，即[x=y=13]时，[z]有最大值[133].

方法总结：本题考查变量的最值，巧妙应用[x，y，z]之间的关系[x+y+z=5，xy+yz+zx=3]，然后构造平面向量，利用绝对值三角不等式[a?b≤a?b]，当且仅当[a]与[b]共线时等号成立，得出[z]的取值范围，进而求出[z]的最大值.

三、三角函数的最值

[例3]已知[0

解：由[y=2-cosxsinx]知[y>0]，则[cosx+ysinx=2]，构造向量[a=（cosx，sinx），b=（1，y）]，由[a?b≤a?b]得[cosx+ysinx≤cos2x+sin2x?1+y2]，即[1+y2≥2]，得[y≥3].

当且仅当a与b共线时等号成立，即[cosx1=sinxy]，解得[cosx=12]，即[x=π3]时等号成立.

故当[x=π3]时，[y]的最小值是[3].

方法总结：本题考查三角函数的最值，对函数[y=2-cosxsinx]变形后得到[cosx+ysinx=2]才能构造向量平面，再利用绝对值三角不等式[a?b≤a?b]，当且仅当a与b共线时等号成立，得出[y]的最小值及此时[x]的值.

四、数列的最值

[例4]给定正整数[n]和正数[N]，对于满足条件[a21+a2n+1≤M]的所有等差数列[a1，a2，a3，…]，试求[S=an+1+an+2+…+a2n+1]的最大值.

解：设公差为[d]，则[S=an+1+an+2+…+a2n+1=（n+1）an+1+n（n+1）2d]，而[an+1=a1+nd]，所以[S=n+12（3an+1-a1） ].构造向量[a=（an+1，a1），b=（3，-1）]，由[a?b≤a?b]得

[3an+1-a1≤an+1+a1?10≤10M]，因此[S=n+12（3an+1-a1）≤n+123an+1-a1≤n+1210M]，当且仅当[an+13=a1-1]，

即[3an+1-a1>0，a2n+1+a21=M]时等号成立，解得[a1=-10M10，an+1=310M10，]

故[S]的最大值为[n+1210M].

方法总结：本题考查数列求和的最值，先将[S=an+1+an+2+…+a2n+1]用等差数列前[n]项和公式表示出来，然后构造平面向量[a=（an+1，a1），b=（3，-1）]，再利用绝对值三角不等式[a?b≤a?b]，当且仅当[a]与[b]共线时等号成立，得出S的最大值.

[ ?参 ? 考 ? 文 ? 献 ?]

[1] ?孙文亮. 平面向量求最值几何坐标真给力[J]. 高中数理化， 2018（5）：5-6.

[2] ?胡敏，刘元利. 构造平面向量求解无理函数的最值[J].中学数学， 2003（7）：26-27.

[3] ?胡秀伟.高中数学平面向量问题图式的研究[D].济南：山东师范大学， 2015.

[4] ?李铁烽. 构造平面向量巧解最值问题[J].数学教学研究， 2002（7）：36-39.

[5] ?高繼勇，王兴亮. 平面向量最值问题的破解策略[J].中学数学， 2018（11）：85-86.

（责任编辑黄春香）

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