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立足分式问题寻找分式有意义的条件

范文

薛雪林

[摘 ? 要]分式有意义的条件，是学生学习分式过程中最易忽视的知识点，也是学生学习分式的最大障碍.基于此，以学生分式意义理解中的常见误区为切入点，探究各种分式问题中分式有意义的条件，并引导学生掌握解决分式问题的技巧和方法.

[关键词]分式;有意义;条件

[中图分类号] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文献标识码] ? ?A ? ? ? ?[文章编号] ? ?1674-6058（2019）26-0024-02

分式有意义的条件是分母不能为零.分式问题中都隐含分母不为零，即分式有意义的条件.为此，研究分式问题时，挖掘、寻找分式有意义的条件，是解决问题的关键.下列问题中分式有意义的条件不可忽视.

一、分式有意义或无意义的问题

使分式有意义的条件是分母不为0，若分式的分母为0则分式无意义.

[例1][x]为何值时，分式[x-4x2-16]有意义？

错解：[∵][x-4x2-16=x-4（x+4）（x-4）=1x+4]，

[∴]当[1x+4]有意义时，[x+4]≠0，即[x]≠-4，

[∴]当[x]≠-4时分式[x-4x2-16]有意义.

显然当[x]≠4时，分式[x-4x2-16]也有意义.

[例2][x]为何值时，分式[x-2x2-5x+6]无意义？

错解：[∵][x-2x2-5x+6]=[x-2（x-2）（x-3）]=[1（x-3）]，

[∴]当分式[x-2x2-5x+6]无意义时， [x]-3=0，即[x]=3，

[∴]当[x]=3时分式[x-2x2-5x+6]无意义.

顯然当[x]=2时，分式[x-2x2-5x+6]也无意义.

上述两例错解相同，都是先把原分式化简成最简分式，再根据最简分式求得原分式有意义或无意义的条件，从而都有漏解的现象.由于分式的分子和分母的公因式是否为0不确定，约去公因式时扩大了未知数的取值范围.为此，确定分式有意义的条件或未知数的取值范围时，不能先约简再确定，应根据分母中所有因式确定.

二、分式的值为0的问题

使分式的值为0的条件是分子为0，并且分母不为0，即分式有意义.

[例3]当[x]为何值时，分式[x2-4x2+5x-14]的值为0？

错解：若使分式的值为0，则[x2-4=0]，即[x=±2]，

[∴]当[x=±2]时，分式[x2-4x2+5x-14]的值为0.

显然[x=2]时分式无意义，此解法忽视了分式有意义的条件.

正解：若分式[x2-4x2+5x-14]的值为0，则[x2-4=0]，即[x=±2]，而当[x=2]时， [x2+5x-14=22+5×2-14=0]，

[∴]当[x=-2]时，分式[x2-4x2+5x-14]的值为0.

三、分式的值大于0的问题

分式的值大于0的条件是分子和分母同号，并且分母不为0，即分式要有意义.

[例4][x]为何值时，分式[x+2x2+2]的值大于0？

解： [∵]无论[x]为何值时， [x2+2>0]，

[∴]要使分式[x+2x2+2]的值大于0，则[x+2>0] ，即[x>-2]，

[∴]当[x>-2]时，分式[x+2x2+2]的值大于0 .

[例5][x]为何值时，分式[x-2x2-4]的值大于0？

错解：[∵]当[x2-4≠0] ，即[x≠±2]时， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，

[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，则[x+2>0]，即[x>-2]，

[∴]当[x>-2]时，分式[x-2x2-4]的值大于0.

很明显[x>-2]包含[x=2]，当[x=2]时分式无意义.

正解：[∵]当[x2-4≠0]，即[x≠±2]时， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，则[x+2>0] ，即[x>-2]，

[∵][x>-2]包含2，若[x=2]则分式无意义.

[∴]当[x>-2]且[x≠2]时，分式[x-2x2-4]的值大于0.

四、分式的值小于0的问题

分式的值小于0的条件是分子和分母异号，并且分母不为0，即分式要有意义.

[例6][x]为何值时，分式[x-2x2+2]的值小于0？

解： [∵]无论[x]为何值时，[x2+2>0]，

[∴]要使分式[x-2x2+2]的值小于0，则 [x-2<0] ，即[x<2]，

[∴]当[x<2]时，分式[x-2x2+2]的值小于0.

[例7][x]为何值时，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0？

错解：当[x2-2x-3≠0]时， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，则 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∴]当[x<3]时，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

显然[x<3]包含[x=-1]，当[x=-1]时，分式无意义，同时分子也为0.

正解：当[x2-2x-3≠0]时， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，则 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∵][x<3]包含[x=-1]，当[x=-1]时，分式无意义且分子为 0.

[∴]当[x<3]且[x≠-1]时，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

五、选数求分式值的问题

[例8]先化简[3xx+2-xx-2÷xx2-4] ，再给[x]选一个合适的数代入求值.

解：原式=[3x（x-2）-x（x+2）（x+2）（x-2）÷x（x-2）（x+2）]

=[2x（x-4）（x+2）（x-2）×（x-2）（x+2）x]

=[2x-8]

[∵]当[x=2]时，分式[xx-2]和[xx2-4]无意义.

当[x=-2]时，分式[3xx+2]和[xx2-4]无意义.

当[x=0]时，分式[（x-2）（x+2）x]无意义.

[∴][x≠±2]，0，即[x]可选[±2]和0以外的数.

从而当[x=4]时，原式=[2×4-8=0].（注：答案不唯一）

显然选[±2]和0都会使原题中的分式或化简过程中的分式无意义.

选数求分式值的问题，一般先化简再選数代入求值，但所选数必须使原题中的分式、化简过程中新出现的分式以及化简后的分式都有意义，否则所选数是不合适的.

六、分式基本性质的理解问题

分式基本性质是：[AB=AMBM] ，[AB=A÷MB÷M] （A，B，M均为整式，且[M≠0]）.理解、掌握、应用分式基本性质的关键是掌握分式有意义的条件.根据分式有意义的条件，分式基本性质明确限制“A，B，M均为整式且[M≠0]”，一方面指分式的分子和分母以及所乘或除的式子都是整式，即在整式范围内的恒等变形（事实上随着知识的扩充，A，B，M还可以是任意代数式）;另一方面，因为[AB]是分式，所以B是含有字母的整式，且[B≠0]，而A，M可以是含有字母的整式，也可以是不含字母的整式，而A，B，M中含有字母时，由于字母的取值范围具有任意性，故整式A，B，M的值都有等于0的可能性.显然当[B=0]时，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]均无意义，所以性质中隐含[B≠0]的条件;当[M=0]时，分式[AMBM]和[A÷MB÷M]均无意义，所以性质中限制[M≠0];而当[A=0]或[A≠0]，且[B≠0]，[M≠0]时，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]都有意义.故性质中明确限制[M≠0]，而[B≠0]隐含于分式[AB]中.

七、分式方程的问题

分式方程的意义、解法和分式方程为什么要检验以及怎样检验，都是在分式有意义的条件下进行的.分式方程是分母中含有未知数的方程，其解必须使方程中每个分式都有意义.一方面分式方程本身隐含分母不为0的条件，方程中的未知数必须满足这一条件，若未知数使方程中某一分式的分母为0，则分式无意义，方程无解;另一方面，根据方程同解原理（或等式性质2），分式方程化为整式方程时，由于两边所乘的整式（最简公分母）有可能为0，为此所得整式方程的解，有可能使分式方程中某一分式的分母为0，此时分式无意义，原分式方程无解.综上所述，分式方程化为整式方程求解时，所得整式方程的解是否是原分式方程的解必须检验：若整式方程的解使最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，不是原分式方程的解.

[例9]解关于[x]的方程[mx-nx+1=0]（[m≠n]，[mn≠0]）.

解：[∵][x≠0] 且[x+1≠0]，[∴] 两边同乘以[x（x+1）]，得 [m（x+1）-nx=0]，即 [（m-n）x=-m]，[∵] [m≠n]，即[m-n≠0]，[∴] [x=-mm-n].

检验：由于[x（x+1）≠0]，根据方程同解原理，[x=-mm-n]是原方程的解.另外，[x=-mm-n]是否是原方程的解，可进一步验证：

当[x=-mm-n]时， [x（x+1）] = [-mm-n] [-mm-n+1] =[-mm-n] [×][ -nm-n] = [mn（m-n）2≠0]（[m≠n]，[mn≠0]），

[∴][x=-mm-n]是原方程的解.

（责任编辑黄春香）

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