标题 | 三角形与其内接三角形面积比的几个问题 |
范文 | [摘 ? 要]在处理三角形与其内接三角形面积比问题时,可建立几何模型,使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系.研究三角形与其内接三角形面积比的有关问题,有利于学生理解知识,提高学生解题能力. [关键词]内接三角形;面积比;几何模型 [中图分类号] ? ?G633.7 ? ? ? ?[文献标识码] ? ?A ? ? ? ?[文章编号] ? ?1674-6058(2019)26-0006-03 一、问题的提出 如果△C1C2C3是△B1B2B3的内接三角形,那么在一定条件下成立不等式 [S△C1C2C3][≤14S△B1B2B3](简记[S′∕S≤14])(1) 围绕这个不等式,不少学者做过认真的探讨,也提出了一些有价值的见解,笔者深受启发,进而思考:许多文章给出的是使(1)成立的充分条件,究竟其必要条件是什么?若C1、C2、C3是三角形各边上随机选定的点,那么使(1)成立的概率有多大?针对这两个问题,笔者略谈几点认识,借此抛砖引玉,有盼读者不吝赐教. 二、引理 【引理】设C1、C2、C3分别在△B1B2B3的B2B3、B3B1、B1B2边上,并且[B3C2B3B1] =λ1、[B1C3B1B2] =λ2、[B2C1B2B3] =λ3,连接C1C2、C2C3、C3C1,则 [S△C1C2C3S△B1B2B3]=λ1λ2λ3+(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3). 证明:如图1,连接B1C1,记 S1=[S△C1B3C2], S2=[S△C1C2B1], S3=[S△B2C1C3], 于是有[S△C1C2C3]=[S△B1B2B3]-([S1]+[S2]+[S3])(*) 由[B3C2B3B1]=λ1,得[S1S△C1B3B1]=λ1, 又[B2C1B2B3]=λ3,即[C1B3B2B3]=1-λ3, 亦即[S△C1B3B1S△B1B2B3 ]=1-λ3. 故S1=λ1(1-λ3)[S△B1B2B3]. 同理S2=λ2(1-λ1)[S△B1B2B3]. S3=λ3(1-λ2)[S△B1B2B3]. 将S1、S2、S3代入式(*),即得到引理之结论. 三、判定定理及其应用 根据引理不难推得下面的判定定理. 【定理】C1、C2、C3分别在[△B1B2B3]的B2B3、B3B1、B1B2边上,记[B3C2B3B1=λ1]、[B1C3B1B2=λ2]、[B2C1B2B3=λ3],(0≤λ1、λ2、λ3≤1). 若λ1λ2λ3+(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3)[>=<14],(2) 则[S△C1C2C3]∕ [S△B1B2B3][>=<14]. 在上述判定定理中,令x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12],([-12]≤x、y、z≤[12]),即可得到定理的另一种等价的形式: 若xy+yz+zx[>=< ]0,(3) 则[S△C1C2C3]∕[ S△B1B2B3][>=<14]. 下面略举数例,以顯示本文引理及判定定理之作用. [例1]设ABC为任意三角形,点X、Y、Z分别在边BC、CA、AB上,若[BX≤XC],[CY≤YA],[AZ≤ZB].求证: △XYZ的面积≥[14]△ABC的面积. 证明:记[CYCA]=λ1、[AZAB]=λ2、[BXBC]=λ3, 且x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12]. 依题意 [BX]≤[XC], [CY]≤[YA], [AZ]≤[ZB]. ∴0≤λi≤[12](i=1,2,3), 即[-12]≤x,y, z≤0. 故有 f (x,y,z)=xy+yz+zx≥0, 由判定定理知 △XYZ的面积≥[14]△ABC的面积. [例2]设M为[△]B1B2B3内任意一点,由顶点B1、B2、B3与M连直线延长后分别交对边于C1、C2、C3,则有 [S△C1C2C3≤14S△B1B2B3]. 式中等号当且仅当M是△B1B2B3的重心时成立. 证明:记[B3C2B3B1]=λ1、[B1C3B1B2]=λ2、[B2C1B2B3]=λ3. 由于B1C1、B2C2、B3C3三线共点, 所以λ1λ2λ3=(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3).① ∵[λ1+λ2+λ33≥][λ1λ2λ33] , [(1-λ1)+(1-λ2)+(1-λ3)3≥][(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3)3], ∴[(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3)3]≤1-[λ1+λ2+λ33]≤1-[λ1λ2λ33]. ② 将①式代入②,得 λ1λ2λ3≤[18]. 故λ1λ2λ3+(1-λ1)(1-λ2)(1-λ3)≤[14]. 由判定定理知 [S△C1C2C3]≤[14][S△B1B2B3] . 显然,当且仅当λ1=λ2=λ3=[12]即M为重心时,上式等号成立. [例3]过△B1B2B3内任意一点M作三边的垂线,分别交三边于C1、C2、C3,则[S△C1C2C3]≤[ ?14][ S△B1B2B3].式中等号当且仅当M为△B1B2B3的外接圆圆心时成立. 证明:如图2, ∵MC2⊥B1B3,MC1⊥B2B3,MC3⊥B1B2, ∴B3[C22]+B1[C23]+B2[C21]=C2[B21]+C3[B22]+C1[B23], 若λi(i=1,2,3), x, y, z如判定定理所记,则上式变形为 [b21]+[b22]+[b23]-2λ1b2-2λ2b3-2λ3b1=0, 即x[b21]+y[b22]+z[b23]=0③ (ⅰ)若x、y、z中有一个且仅有一个为零,则 f (x,y, z)=xy+yz+zx<0; (ⅱ)若x、y、z均为零, 则f (x, y, z)=xy+yz+zx=0, 此时,M为△B1B2B3的外接圆圆心. (ⅲ)若xyz0,则必有两者同号,不失一般性,设yz>0,由③式得到 x=[-yb23-zb21b22]. 于是 f (x,y,z)=xy+yz+zx =[-yb23-zb21b22]·(y+z)+yz =[-(y2b23+z2b21)-2yzb1b3cosB2b22] ≤ - [2yzb1b3(1+cosB2)b22]<0. 综合(ⅰ)~(ⅲ),由判定定理知本题结论成立. 四、概率计算 在三维空间,方程xy+yz+zx=0表示一个圆锥曲面,如图3(为使图像清晰,圆锥曲面在第三、六、八卦限的部分未画出).这个曲面可以看作三坐标轴绕DO旋转而成,因为-[12]≤x,y,z≤[12],所以方程xy+yz+zx=0所表示的曲面仅限于正方体以内的部分,它与正方体的表面交线均为双曲线的一支. 建立几何模型,使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系. 圆锥曲面Q把正方体分割为R、W两部分,用点的集合来表示: [R=(x,y,z)xy+yz+zx>0], [Q=(x,y,z)xy+yz+zx=0], [W=(x,y,z)xy+yz+zx<0], 从图中,我们能直观地看到S′/ S [>=<14]的内接三角形的分布情况. 如果内接三角形的顶点是随机选定的,即x,y,z独立地均匀分布在-[12]≤x,y,z≤[12]的范围内,那么可以通过求R、W的体积来计算S′/ S>[14]与S′/ S<[14]内接三角形的概率. 我们先计算R的体积,R由两个小正方体及分布在另六个卦限的六个相同的曲顶柱体组成,如图4,取第二卦限內的曲顶柱体,计算其一半的体积VM . [VM=012dz0z-zyz+ydy] [=0121+ln12z2dz] [=1241+ln12]. R由12个曲顶柱体与两个体积为[18]的正方体组成,故有 VR=12VM+2×[18] [=34-12ln2] =0.4034. 对曲面Q的体积忽略不计,即可得到W的体积约为0.5966. 如果把VR、VM与整个正方体的体积相比较,则得S′/S<[14]的内接三角形的概率近似等于0.4034,而S′/ S>[14]的内接三角形的概率近似为0.5966. 高等数学的少量知识下放到高中课本以后,高考试题中,陆续出现具有高数背景的考题,有的数学教师感觉茫然.其实,高数和初等数学并非两张皮,而是有机的整体,只有在教学中自觉强化高数的思维和方法的渗透意识,才能对高考命题有深刻的理解和把握.笔者撰写此文,目的是以此做例证,使读者能得到一点点启迪.由于水平有限,仅供参考. [ ?参 ? 考 ? 文 ? 献 ?] [1] ?常庚哲.复数计算与几何证明[M].上海:上海教育出版社,1981. [2] ?程龙.初等数学论丛(第3辑)[M].上海:上海教育出版社,1981. [3] ?陈荣华.关于三角形面积比的一个定理及其应用[J].中学数学教学,1986(4):6-7. [4] ?刘裔宏,许康,吴茂贵,等.普特南数学竞赛(1938-1980)[M].长沙:湖南科学技术出版社,1983. (责任编辑 黄桂坚) |
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