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立体几何中的易错点剖析

范文

立体几何是高中数學的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，部分同学常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误，为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.

易错点一：概念不清导致错解

例1 以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线;

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确命题的序号是 .

错解：①②

错因分析：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确;②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误;③中，如图所示正方体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误;④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.

正解：①

例2 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mα，n∥α，则m∥n;

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;

③若α∩β=n，m∥n，m∥α，则m∥β;

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是（填序号）.

错解：①②

错因分析：①m∥n或m，n异面，故①错误;易知②正确;③m∥β或mβ，故③错误;④α∥β或α与β相交，故④错误.

正解：②

易错点二：定义理解不清导致错解

例3 已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为 .

错解：平行

错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.

正解：平行或线在面内

例4 如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，则AO与A′C′所成角的度数为 .

错解：∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，

∴OC⊥AB.又AB∩BO=B，

∴OC⊥平面ABO.

又OA平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.

错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠OAC可能是OA，A′C′所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.

正解：在Rt△AOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.

易错点三：忽视判定定理中的条件导致错解

例5 在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.

（1）求证：AP∥平面BEF;

（2）求证：GH∥平面PAD.

错解：证明（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC=12AD，

E为AD的中点，∴BC∥AE且BC=AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点，

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

∴AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，

∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，

∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.

错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF”，在第（2）问解题过程中的漏掉“PD平面PAD，FH平面PAD”和“AD平面PAD，OH平面PAD”缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.

正解：证明（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC=12AD，

E为AD的中点，∴BC∥AE且BC=AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点，

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，

∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，

∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.

例6 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面;

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

错解：（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

在三棱柱ABCA1B1C1中，

BB1

瘙綊

CC1，

∴四边形BB1C1C为平行四边形，

所以∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.

∴B，C，H，G四点共面.

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G∥EB，A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形.

∴A1E∥GB.

∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG.

∴平面EFA1∥平面BCHG.

错因分析：在第（2）问解题过程中漏掉“A1E∩EF=E”，忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两“相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.

正解：（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.

∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G∥EB，A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形.

∴A1E∥GB.

∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF=E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

易错点四：盲目地套用性质定理导致错解

例7 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中點.

（1）求证：直线AE⊥直线DA1;

（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.

错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.

错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.

正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，

又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.

（2）所示G点即为A1点，证明如下：

由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，

由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，

∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.

又DF∩A1D=D，

∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.

（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）

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