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标题 《矩阵与变换》考点探究
范文

    

    

    在高考命题中,对《矩阵与变换》的考查一般以选做题的形式出现,出现在解答题中,试题难度中等或为基础题,占10分.对于高考来说,不管是简单题,中档题还是具有一定难度的压轴题,必须做到每分必争.而要做到这一点,必须先对考点了如指掌.那么,在高考命题中,关于《矩阵与变换》主要考点有哪些呢?让我们一起登上《矩阵与变换》考点直通车看个究竟!

    考点一、矩阵的相关概念

    对矩阵概念的考查以矩阵相等为主.

    例1?设矩阵M=x-110q-1,N=21-py2+y2,若M=N,求x,y,p,q.

    分析:题中涉及x,y,p,q四个未知量,可根据M=N列出4个方程,解方程组求值即可.

    解:因为M=x-110q-1,

    N=21-py2+y2,且M=N,

    所以x-1=2y2+y=01-p=1q-1=2,

    解得x=3,y=0或-1,p=0,q=3.

    评注:解方程(组)是解决此类问题的基本运算,因此对一元二次方程根的求法,消元法解方程组要熟练掌握,避免出现运算错误.

    考点二、矩阵的乘法运算

    矩阵与矩阵的乘法运算,历来是高考考查矩阵与变换的一个重要考点.但难度不大,一般属于送分的基础题.

    例2?已知二阶矩阵M满足M10=10,M11=22,求M21-1.

    分析:设M=abcd,再由已知条件列出方程组求出a,b,c,d的值,从而得到二阶矩阵M,最后求M21-1.

    解:设M=abcd,

    由M10=10得ac=10,所以a=1,c=0.

    由M11=22得a+bc+d=22,

    所以b=1,d=2.所以M=1102.

    所以M2=11021102=1304.

    所以M21-1=13041-1=-2-4.

    评注:虽然这类问题的难度不大,但必须注意矩阵的运算法则,如二阶矩阵相乘,满足结合律,但不满足交换律和消去律.

    考点三、二阶矩阵与曲线的变换

    矩阵与变换体现了学习“矩阵”就是为了“变换”,因此二阶矩阵与曲线的变换也是一类常考不衰的热点问题.

    例3?在直角坐标系中,已知椭圆x2+4y2=1,矩阵M=0110,N=0210,求椭圆x2+4y2=1在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积.

    分析:先计算矩阵MN,再求椭圆上点(x0,y0)在MN的作用下所对应的点(x,y).

    解:MN=01100210=1002.

    设(x0,y0)为椭圆x2+4y2=1上任一点,它在MN的作用下所对应的点为(x,y),

    则xy=1002x0y0=x02y0,

    ∴x=x0y=2y0,即x0=xy0=y2,

    代入x20+4y20=1,得x2+y2=1,

    ∴在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为π.

    评注:利用二阶矩阵变换求曲线(或点)问题,与平面解析几何中的相关点法求轨迹方程有惊人形似的一幕,破解此类问题的关键是准确求出坐标之间的变换公式.

    考点四、逆矩阵的求法及其应用

    逆矩阵问题,既体现了矩阵的运算,又体现了逆矩阵的几何意义,计算难度不大,因而也一直成为热门考点.

    例4?已知点P(a,b),先对它作矩阵M=12-323212对应的变换,再作N=2002对应的变换,得到的点的坐标为(8,43),求实数a,b的值.

    分析:先求出NM和(NM)-1,再利用矩陣乘法求出实数a,b的值.

    解:依题意,

    NM=200212-323212=1-331,

    由逆矩阵公式得,(NM)-1=1434-3414,

    所以1434-3414843=5-3,

    即有a=5,b=-3.

    评注:解答本题的关键是求出NM的逆矩阵.求逆矩阵的方法各有千秋,有方程思想的体现,有公式法的简洁展现,有线性变换的巧妙揭示,解题的过程中应根据题目条件特点,恰当选取最优方法解题.

    考点五、求矩阵的特征值,特征向量

    利用矩阵的特征值与特征向量可以将Anα简单表示,因此这类问题往往有两个小问题,先求矩阵的特征值与特征向量,再求Anα的值

    例5?已知矩阵M=7-64-3,向量ξ=65.

    (1)求矩阵M的特征值λ1,λ2和特征向量ξ1和ξ2;

    (2)求M6ξ的值.

    分析:求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行,先写出特征多项式,并求出特征值,再将M6ξ用特征向量表示出来.

    解:(1)M=7-64-3的特征多项式为

    f(λ)=λ-76-4λ+3=λ2-4λ+3,

    令f(λ)=0,得λ1=1,λ2=3.

    当λ1=1时,得ξ1=11;

    当λ2=3时,得ξ2=32.

    (2)由ξ=mξ1+nξ2得m+3n=6m+2n=5得m=3,n=1.

    M6ξ=M6(3ξ1+ξ2)=3(λ61ξ1)+λ62ξ2=21901461.

    评注:求矩阵的特征向量及特征值时,准确写出特征多项式,解出特征方程的根是解题的前提.列出线性方程组后,根据系数特点恰当赋值求出特征向量,最后注意特征向量与特征值对应要准确.同时还需注意:(1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量;(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.

    从以上考点分析可以看出,高考对矩阵与变换的考查注重知识的基础性与应用性,这具体表现在一是对矩阵概念的认识,主要考查一阶矩阵和二阶矩阵;二是有关矩阵的计算,主要考查二阶矩阵的乘法运算和求已知矩阵的逆矩阵;三是矩阵与变换的应用,如矩阵变换下的点的坐标问题,曲线问题和面积问题等,只要我们抓住以上重点内容和基本考点,那么在高考中一定会立于不败之地.

    (作者:侯仰古,江苏省太仓市明德高级中学)

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更新时间:2025/3/15 11:48:53