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2020高考模拟试卷（五）

范文

数学Ⅰ试题

一、填空题? ?（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1.? ?已知（1-i）z=1+i（i为虚数单位），则复数z的模为__________.

2.? 已知集合A={1，-2}，B={a，a2}，若A∩B={1}，则实数a的值为__________.

3.? 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生.

4.? 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________.

5.? 某程序框图如右图所示，当输入x=7时，输出的y=__________.

6.? 已知双曲线 x2 3 - y2 b2 =1的两条渐近线与直线x= 3 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________.

7.? 已知变量x，y满足约束条件 x≥0，y≥0，x+y≤2，则y-2x的最大值为__________.

8.? 已知α为锐角，且cos（α+ π 6 ）= 1 3 ，则sinα=__________.

9.? 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心.设正四棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则 S2 S1 =__________.

10.? ?已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=2S3+1，2a4=2a3+3a2+2，則a1=__________.

11.? 已知圆C：x2+y2-4x-2y=0，过点P（6，0）的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且PA=3PB，则直线l的斜率为__________.

12.? 若x>2，y>0，且 2 x + 1 y =1，则 1 x-2 + 1 y-1 最小值为__________.

13.? 已知△ABC中，AB=2，AC=1，平面ABC上一点D满足BC ·AD =-3，则BC ·（BD +CD ）=__________.

14.? 已知f（x）=x3-3a2x-a，若存在x∈[-1，1]，使得f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为? ? ?.

二、解答题? ?（本大题共6小题，共计90分）

15.? ? ?（本小题满分14分）

已知f（x）=4sinxsin2（ π 4 + x 2 ）+cos2x.

（1）求函数的最小正周期;

（2）求函数g（x）=f（2x- π 6 ），x∈[0， π 2 ]的值域.

16.? ? ?（本小题满分14分）? 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PAD⊥面ABCD，三角形PAD为正三角形.

（1）? 若E，F分别为PB，CD中点，证明：EF∥面PAD;

（2）若∠PAB=90°，证明：面PAD⊥面PAB.

17.? ? ?（本小题满分14分）

过椭圆 x2 8 + y2 2 =1上一点P（-2，-1）作两条直线l1，l2与椭圆另交于A，B点，设它们的斜率分别为k1，k2.

（1）若k1=1，k2=-1，求△PAB的面积S△PAB;

（2）若OA=OB，PA=PB，求直线AB的方程.

18.? ? ?（本小题满分16分）

从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设∠OAB=θ，五个正方形的面积和为S.

（1）求面积S关于θ的函数表达式，并求tanθ的范围;

（2）求面积S最小值.

19.? ? ?（本小题满分16分）

若函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数y=f（x）图象上存在一对“偶点”.

（1）写出函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标;（不需写出过程）

（2）证明：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”;

（3）若函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围.

20.? ? ?（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an+2-an，cn=an+3an+1+2an+2.

（1）若数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=a1=a2=1，求数列{cn}的通项公式cn;

（2）若数列{bn}、{cn}均是等差数列，且数列{cn}的公差d=3a1=6，c1=19，求数列{an}的通项公式.

数学Ⅱ（附加题）

21.? ? ?（本小题满分10分）

已知x∈ R ，向量 α =? 11? 是矩阵 A =? 1 x0 2? 的属于特征值λ的一个特征向量，求 A -1.

22.? ? ?（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为 x=1+? 2? 2 t，y=? 2? 2 t （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），求直线l被曲线C所截的弦长.

23.? ? ?（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5， AA1=4，AD = 2 5 AB ，BC1与B1C交于点E.

（1）求异面直线AC1与DB1所成角的余弦值;

（2）求二面角ADEA1的余弦值.

24.? ? ?（本小题满分10分）

若排列a1，a2，…，an中存在ai使得ai-1>ai

（1）求f（3），f（4）;

（2）求f（n）.

參考答案

一、填空题

1.? 1

2.? -1

3.? 50

4.? ?1 3

5.? 5

6.? ?2 3? 3

7.? 2

8.? ?2 6 -1 6

9.? ? 10? 6

10.? 1

11.? - 8 15

12.? ?2

13.? -3

14.? （-∞，? 13 -1 6 ]∪[? 2? 2 ，+∞）

二、解答题

15.? ?解：（1）f（x）=4sinx 1-cos（ π 2 +x） 2 +cos2x

=2sinx（1+sinx）+1-2sin2x=2sinx+1，

所以函数y=f（x）的最小正周期为2π.

（2）g（x）=f（2x- π 6 ）=2sin（2x- π 6 ）+1，x∈[0， π 2 ]，

因为x∈[0， π 2 ]，所以2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ]，

所以sin（2x- π 6 ）∈[- 1 2 ，1]，

所以函数y=g（x）的值域为[0，3].

16.? ?证明：（1）取PA的中点G，连接GD，GE.

在△PAB中，因为E，G分别为PB，PA中点，

所以GE∥AB且GE= 1 2 AB，

因为底面ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，

F为DC的中点，所以DF= 1 2 AB，

所以GE∥DF且GE=DF，

所以四边形GEFD为平行四边形，所以GD∥EF，

因为EF平面PAD，GD平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

（2）取AD的中点H，连接PH.

因为侧面PAD为正三角形，所以PH⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，PH平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD，

因为AB平面ABCD，所以PH⊥AB，

因为∠PAB=90°，所以AB⊥AP，

因为PH∩PA=P，PA，PH平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

因为AB平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB.

17.? ?解：（1）因为k1=1，k2=-1，

所以直线l1，l2方程分别为x-y+1=0，x+y+3=0，

由? x2 8 + y2 2 =1y=x+1 ，得：5x2+8x-4=0，

由此解得x= 2 5 ，所以y= 7 5 ，所以A（ 2 5 ， 7 5 ），

同理可得：B（- 14 5 ，- 1 5 ），

所以直线AB的方程为5x-10y+12=0，

所以S△PAB= 1 2 × （ 2 5 + 14 5 ）2+（ 7 5 + 1 5 ）2 × 12? 52+102? = 48 25 .

（2）设AB的中点为H点.

①当直线AB过原点时，点H与点O重合.

因为PA=PB，所以PO⊥AB，

所以直线AB的方程为2x+y=0.

②当直线AB不过原点时.设H（x0，y0），

在△OAB中，因为OA=OB，所以OH⊥AB，

在△PAB中，因为PA=PB，所以PH⊥AB，

所以点P，H，O三点共线，

因为直线OP的斜率为 1 2 ，所以直线AB的斜率为-2，

设直线AB的方程为y=-2x+m（m≠0），

由? x2 8 + y2 2 =1y=-2x+m 得：17x2-16mx+4m2-8=0，

所以x0= 8m 17 ，y0= m 17 ，

所以直线OH斜率为 1 8 ，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，

点P，H，O三点不共线（与上面的结論矛盾）.

综上：所求直线AB的方程为2x+y=0.

18.? ?解：（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，

所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点.

所以小正方形的边长为（ 1 2 sinθ）×2=sinθ，

大正方形的边长为

（ 1 2 cosθ-sinθ）×2=cosθ-2sinθ，

所以五个正方形的面积和为

S=4sin2θ+（cosθ-2sinθ）2

=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，

因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，

所以sinθ

所以θ的取值范围为（0，θ0），

tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.

答：面积S关于θ的函数表达式为

S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，

θ的取值范围为（0，θ0），tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.

（2）法一：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ

=8 1-cos2θ 2 + 1+cos2θ 2 -2sin2θ

= 9 2 -（2sin2θ+ 7 2 cos2θ）

= 9 2 -? 65? 2 sin（2θ+φ），

其中tanφ= 7 4 ，φ∈（0， π 2 ），

所以Smin= 9- 65? 2 ，此时sin（2θ+φ）=1，

因为θ∈（0，θ0），所以0<2θ+φ<2θ0+ π 2 < 3 2 π，

所以2θ+φ= π 2 ，

所以tan2θ=tan（ π 2 -φ）= 1 tanφ = 4 7 ，

2tanθ 1-tan2θ = 4 7 ，化简得：2tan2θ+7tanθ-2=0，

由此解得：tanθ= -7± 65? 4 ，

因为0

答：面积S最小值为 9- 65? 2 .

法二：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ

= 8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ sin2θ+cos2θ

= 8tan2θ-4tanθ+1 tan2θ+1 .

令t=tanθ，则S= 8t2-4t+1 t2+1 ，

设f（t）= 8t2-4t+1 t2+1 ，t∈（0， 1 3 ），

令f′（t）= 2（2t2+7t-2）（t2+1）2 =0，

得：t= -7+ 65? 4 < 1 3 ，

t （0， -7+ 65? 4 ）? -7+ 65? 4? （ -7+ 65? 4 ， 1 3 ）

f′（t） - 0 +

f（t） ↘ 极小值 ↗

所以t= -7+ 65? 4 时，面积S最小值为 9- 65? 2 .

答：面积S最小值为 9- 65? 2 .

19.? ?（1）函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标为（π，0）（-π，0）.

（2）设Q（x）=g（x）-g（-x）

=ln（x+2）-ln（-x+2）-2x，

因为y=Q（x）的定义域为（-2，2），

且Q（-x）=-Q（x），

所以函数y=Q（x）为奇函数，

要证：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”，

只需证：y=Q（x）在（0，2）上有且只有一个零点，

令Q′（x）= 2（x2-2） 4-x2 =0，得x= 2 ，

所以，函数Q（x）在（0， 2 ）上为单调减函数，在（ 2 ，2）上为单调增函数，

Q（ 2 ）=ln（3+2 2 ）-2 2 <0，

Q（2- 1 e4 ）=ln（4- 1 e4 ）+ 2 e4 >0，

所以函数Q（x）在（ 2 ，2- 1 e4 ）上有且只有一个零点，

所以函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”.

（3）设F（x）=h（x）-h（-x）=ex-e-x-2mx，

F（0）=0，

因为y=F（x）的定义域为 R ，且F（-x）=-F（x），

所以函数y=F（x）为奇函数.

因为函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，

所以函数y=F（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，

F′（x）=ex+ 1 ex -2m，x∈（0，+∞）.

1°当m≤1时，因为F′（x）>2-2m≥0，

所以函数y=F（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以F（x）>F（0）=0，

所以函数F（x）在（0，+∞）无零点.

2°当m>1时，

由F′（x）=ex+ 1 ex -2m= e2x-2mex+1 ex =0，

得：x0=ln（m+ m2-1 ），

所以函数y=F（x）在（0，x0）上为单调减函数，在（x0，+∞）上为单调增函数，

所以F（x0）

H′（x）= 1-x x ，所以函数H（x）在（0，1）上为单调增函数，在（1，+∞）上为单调减函数，

所以H（x）≤H（1）=-1<0，所以lnx

所以ln（m+ m2-1 ）

设m（x）=ex-x2-1（x>1），

设M（x）=m′（x）=ex-2x，

因为M′（x）=ex-2>e-2>0，所以函数M（x）在（1，+∞）上为单调增函数，

所以M（x）>M（1）=e-2>0，所以函数m（x）在（1，+∞）上为单调增函数，

所以m（x）>m（1）=e-2>0，所以当x>1时，ex>x2+1，

F（2m）=e2m- 1 e2m -4m2>e2m-1-4m2>0，

因为函数y=F（x）在（x0，+∞）上为单调增函数，

所以函数F（x）在（x0，2m）上有且仅有一个x1，使得F（x1）=0.

综上：m的取值范围为（1，+∞）.

20.? ?（1）因为数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=1，bn=an+2-an，

所以an+2-an=n，

所以an+3-an+1=n+1，a3=2，c1=8，

因为cn+1-cn=an+1+3an+2+2an+3-（an+3an+1+2an+2）

=2（an+3-an+1）+an+2-an=3n+2，

所以c2-c1=3×1+2

c3-c2=3×2+2

…

cn-cn-1=3×（n-1）+2，（n≥2）

上面n-1式子相加得：

cn-c1=3×（1+2+…+n-1）+2（n-1）

=3× n（n-1） 2 +2n-2，

所以cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6（n≥2）.

當n=1时也满足上面{cn}的通项.

综上：数列{cn}的通项公式cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6.

（2）因为{cn}是等差数列，且数列{cn}的公差d=19，

所以cn=an+3an+1+2an+2=6n+13①，

cn+1=an+1+3an+2+2an+3=6n+19②，

②-①得：2（an+3-an+1）+an+2-an=6，

即2bn+1+bn=6，

所以2b2+b1=6，2b3+b2=6，

因为{bn}是等差数列，等差数列{bn}的公差为d′，

所以3b1+2d′=6，3b1+5d′=6，由此解得：b1=2，d′=0，

所以bn=2，满足2bn+1+bn=6，即an+2-an=2.

因为c1=a1+3a2+2a3=19，

所以2+3a2+2（2+2）=19，所以a2=3，

1°当n=2k-1（k∈ N *）时，a2k-1=2+2（k-1）=2k，所以an=n+1.

2°当n=2k（k∈ N *）时，a2k=3+2（k-1）=2k+1，所以an=n+1.

综上：数列{an}的通项公式an=n+1.

数学Ⅱ附加题

21.? ?解：因为向量 α 是矩阵 A 的属于特征值λ的一个特征向量，

所以? 1 x0 2? ? 11? =λ? 11? ，

得： 1+x=λ2=λ ，所以x=1，

若 A =? a bc d? ，且| A |≠0，

则 A -1=? ?d | A |? - b | A | - c | A |? ?a | A |? ?，

所以 A -1=? 1 - 1 2 0? 1 2? ?.

22.? ?因为直线l的参数方程为 x=1+? 2? 2 ty=? 2? 2 t ，

所以直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，

因为曲线C的极坐标方程是ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以（x-1）2+（y-1）2=2，

所以曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2.

曲线C的圆心到直线l的距离

d= |1-1-1|? 2? =? 2? 2 ，

所以直线l被曲线C截得弦长为

2 R2-d2 =2 2- 1 2? = 6 .

23.? ?（1）因为AC=3，BC=4，AB=5，

所以AB2=AC2+BC2，所以AC⊥BC，

以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

则A（3，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），B（0，4，0），E（0，2，2），设D（x0，y0，z0），

因为AD = 2 5 AB ，

所以（x0-3，y0，z0）= 2 5 （-3，4，0），

所以D（ 9 5 ， 8 5 ，0），

所以AC1 =（-3，0，4），DB1 =（- 9 5 ， 12 5 ，4）.

设异面直线AC1与DB1所成角为θ，θ∈（0， π 2 ]，

所以cosθ=|cos|

=| AC1 ·DB1? |AC1 |·|DB1 | |=|? 27 5 +16 5 （ 9 5 ）2+（ 12 5 ）2+16? |= 107 125 ，

所以异面直线AC1与DB1所成角的余弦值为 107 125 .

（2）设平面ADE的一个法向量为 n 1=（x1，y1，z1），平面A1DE的一个法向量为 n 2=（x2，y2，z2）.

AD =（- 6 5 ， 8 5 ，0），AE =（-3，2，2），

所以 - 6 5 x1+ 8 5 y1=0-3x1+2y1+2z1=0 ，

令y1=3，得：x1=4，z1=3，

所以 n 1=（4，3，3），同理可得： n 2=（2，4，1），

所以cos< n 1， n 2>=? n 1· n 2 | n 1|×| n 1| = 23? 34 × 21? = 23 714? 714 ，

由圖可知二面角ADEA1的平面角为锐角，

所以二面角ADEA1的余弦值为 23 714? 714 .

24.? ?解：（1）若将1，2，3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，所以f（3）=2.

若将1，2，3，4排成满足题意的排列，可分成两类：

1）1排在首位或末位，此时2必须排在3、4之间，共有C12A22=4个;

2）1不排在首位也不在末端，共有C12A33=12个.

所以f（4）=16.

（2）一般地，

1）若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下n-1个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的排列共有C12f（n-1）个;

2）若1排在第i（i=2，…，n-1）号位，1必为极小值，则余下n-1个数中不得再有“极小值”出现，从余下n-1个数中抽取i-1个数排在1的左侧，这i-1个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，否则它即为极小值，矛盾.依次类推，这i-1个数共有Ci-1n-12i-2种排法.

故，此时满足题意的排列共有Ci-1n-12i-2·2n-i-1=Ci-1n-12n-3个，

所以1不排在两端的排列个数为∑ n-1 i=2 Ci-1n-12n-3=2n-3（2n-1-2）.

所以f（n）=2f（n-1）+22n-4-2n-2

=22f（n-2）+22n-4+22n-5-2n-2-2n-2

=…=2n-3f（3）+（22n-4+…+2n）-2n-2（n-3）

=2n-2（2n-1-n）.（n≥4），

特别地，当n=3时，也适合.

所以f（n）=2n-2（2n-1-n）.

（作者：朱秋萍，江苏省如皋市第二中学）

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