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基本不等式和对勾函数破解一道圆锥曲线高考试题

范文

罗文军

2019年高考全国Ⅱ卷理科第21题是一道圆锥曲线试题，圆锥曲线试题出现在压轴题的位置，打破了历年全国Ⅱ卷导数试题作为压轴题的套路，体现了高考试题“大稳定，小创新”的特色，这道试题是一道圆锥曲线的轨迹、定值、最值问题，考查了曲线的轨迹方程的求法、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想，考查了考生的运算求解能力和推理论证能力，旨在考查考生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 这道试题第（1）问较简单，第（2）问的第（i）问和第（ii）问难度较大，三问之间难度具有很好的梯度性，具有很好的区分度和选拔功能. 本文对这道试题进行解法探究、变式探究和源头探究.

四、圆锥曲线备考建议

1. 回归课本，夯實基础，构建知识网络

近几年内高考数学试题遵循“大稳定，小创新”的方针，重视基础知识和基本技能的考查. 同时，通过上面对圆锥曲线真题的源头探究，发现2019年全国Ⅱ卷理科第21题源自课本. 因此回归课本应贯穿圆锥曲线复习的自始至终. 因为课本是数学知识“生长地”，课本是高考复习的“根据地”，课本是高考试题的“策源地”，回归课本是高考复习的起点，研课本，就是要看考题与课本的关系，从高考的要求出发，把课本熟化，公式定理能信手拈来，基本题型能“借题发挥”. 在回归课本的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.

2. 注重通性通法

高考中解析几何试题通常是对常见题型进行加工改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为高立意、新情境、巧设问的解析几何问题，坚持新题不难，难题不怪的命题方向. 这要求学生要通过高中学习掌握基础知识、基本概念、基本技能和基本数学思想的应用，通过对教材中基本例习题的变通，积累一些常规基本问题的解法，反复体会其中蕴含的思维方法. 把解题方法提高到数学思想的高度，提高分析和解决综合问题的能力. 例如，对于圆锥曲线解答题中三角形的面积的最值问题，通常要运用到弦长公式和基本不等式;对于圆锥曲线的中点弦问题，要优先考虑点差法;对于求椭圆离心率的题目，大多要利用数形结合法，结合椭圆的定义求解. 对于抛物线的焦点弦和焦半径问题，要根据焦点弦公式和焦半径公式，结合抛物线定义求解. 在求椭圆的弦长时，利用弦长公式，运用设而不求的方法.

3. 提高数学运算求解能力，发展数学运算的核心素养

高考数学答卷中反映出的问题之一是部分考生的运算求解能力差，是最头疼的事，有的考生思路的很好，但运算过不了关，一道圆锥曲线解答题从一开始计算就错，而自己没有自查能力，一直错到底，多么可怕呀. 阅卷规则要求从错误解答开始的后面的步骤不能给分，而出错的原因往往很简单，就是诸如一个正负号问题，直线方程和圆锥曲线方程联立化简整理时出错，太可惜.数学运算能力的培养不仅仅是高三复习的事，应该贯穿于高中数学教学的始终. 特别是解析几何解答题，综合性强，代数推理要求高，运算求解能力要求高，繁杂和冗长的计算是必不可少的，因此要通过强化数学思想方法，特别是函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论等引导学生理解算理，从而提高学生运算求解能力，发展数学运算核心素养.

4. 研历年高考真题，体会命题专家的命题思路

历年高考试题不仅具有选拔功能，还具有很好的教育功能.高考试题凝结了命题专家的智慧与匠心，具有较强的原创性与指导意义，有利于考查学生的探究意识与创新精神. 从上面探源发现，2019年全国Ⅱ卷理科第21题第（2）问的第（i）问源自是江苏省2011年高考数学第18题（3）问. 每年高考过后，可以发现当年的部分高考试题是往年真题的同类题或“翻版”，因此，在平时的教学中，对高考试题进行适当发散研究，不仅可以理清脉络，把握高中数学主干知识，避免高三复习的随意性、盲目性，而且可以有效训练学生的思维，提高探究能力，培养创新意识.

5. 重视新增知识，关注知识交汇

对新增的伸缩变换、极坐标与参数方程等知识，要引起足够的重视，比如，前面真题第（2）问的第（i）问的证法4就是用伸缩变换做的，第（2）问的第（ii）问的解法2运用了参数方程的思想. 在高考中，如果没想到其他方法破解圆锥曲线解答题，选用参数方程法，也是很好的. 同时，要关注知识交汇，从历年高考试题来看，有时，解析几何真题也与导数、不等式、三角函数等交汇，也充分体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.

责任编辑徐国坚

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