标题 | 挖掘一道课本习题的教学价值 |
范文 | 陆建根 摘要:课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典,也是思维训练的范例。教师要加强对课本例题习题的研究,通过对一道例题多角度、全方位的探究,可以加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握,让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平,而且对开发学生智力,培养学生良好的思维品质,提升学生的核心素养具有重大意义。 关键词:例题习题;研究;一题多解 中图分类号:G633.6文献标识码:A???? 文章编号:1992-7711(2019)19-108-1 教材的例题习题都是很典型的,是经过专家精选的,具有一定的代表性,课本例题习题的教学相当的重要。而要搞好例题习题教学的前提是,教师必须进行深入的研究,要熟悉例题习题的编写意图和例题习题的来龙去脉。 就一道例题,对解题方法进行深入挖掘和研究,做到一题多解,可以培养学生思维的开阔性和灵活性。同一个题目从不同的角度去分析研究,可以得到不同的启迪。 苏教版必修五第2章《数列》复习题第11题为: 在等差数列{an}中,已知Sp=q,Sq=p(p≠q),求Sp+q的值。 同学们如果能从多方位去探求各种不同的解法,不仅能系统梳理、复习等差数列的有关的基础知识,而且对等差数列的内在的本质的属性会有更深刻的认识。 为便于全面的挖掘本题的教学价值,我们先把问题特殊化,先考虑下列问题: 在等差数列{an}中,已知S10=100,S100=10,求S110的值。 设等差数列{an}的公差为d,前项和为Sn。 解法1:由S10=100,S100=10得 ∴10a1+10×92d=100,(1)100a1+100×992d=10,(2) 解得a1=1099100,d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110 注:该解法思路自然,是一种常规解法,但运算量较大。 解法2:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S60-S50,…,S100-S90,S110-S100(*)成等差数列,设公差为D,该数列前10项和为10S10+10×92D=S100=10,∴D=-22, 该数列第11项为S110-S100=S10+(11-1)(-22)=-120,∴S110=-110。 注:该解法运用了等差数列的性質:等差数列的依次每k项之和仍成等差数列。 解法3:数列(*)的前10项和为S100=10,而S10=100, 所以等差数列S20-S10,S30-S20,…,S60-S50,…,S100-S90的所有9项之和为-90。 即-90=9(S60-S50),∴S60-S50=-10, ∴S110=S10+(S20-S10)+…+(S110-S100)=11(S60-S50)=11×(-10)=-110。 注:该解法运用了性质:S2n-1=(2n-1)an。 解法4:由于{an}为等差数列的充要条件为其前项和Sn=An2+Bn, 将S10=100,S100=10代入可得A=-11100,B=-11110, ∴Sn=-11100n2+11110n,∴S110=-110。 注:该解法注意到等差数列前n项和的公式的结构特征,Sn=An2+Bn。 解法5:∵Sn=na1+n(n-1)2d,∴Snn=a1+(n-1)d2, ∴(n,Snn)是直线y=(x-1)d2+a1上的一串点, 显然(10,10),(100,110),(110,S110110)共线,∴S110=-110。 注:由Snn=a1+(n-1)d2联想到直线方程,数形结合,解法简洁快捷。 解法6:由S110=110a1+110×1092d=110(a1+1092d)。 ∴10a1+10×92d=100,(1)100a1+100×992d=10,(2), 由(2)-(1)得a1+1092d=-1, 上述等式两边同乘以110得S110=-110。 注:整体代换可以极大地减少运算量。 再回到原问题,从上述解法可以知道,用解法1、2、4、5、6都可以解决该题,下面我们用解法6来求解。 由Sp=q,Sq=p,得pa1+p×(p-1)2d=q,(3)qa1+q×(q-1)2d=p,(4) (3)-(4)整理得a1+p+q-12d=-1, 两边同乘以p+q得(p+q)a1+(p+q)(p+q-1)2=-(p+q), 即Sp+q=-(p+q)。 数学解题教学,题不在多,贵在精,贵在教师研究深。课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典,也是思维训练的范本,因此,教师要加强对课本例题习题的研究,而且通过教师长期的示范引领,慢慢地让学生也养成对课本例题习题进行琢磨、研究的习惯。这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握,让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平,而且对开发学生智力,培养学生良好的思维品质,提升学生的核心素养亦有好处。 (作者单位:江苏省镇江中学,江苏 镇江212000) |
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