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解读机械能守恒定律的条件

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成金德

在只有重力或者弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个规律叫做机械能守恒定律. 对某个研究系统而言，机械能是否守恒？可以从以下七个方面进行分析和判断.

1. 只有重力做功时机械能守恒

如果一个系统内只有重力做功，系统内只有重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，则系统的动能和重力势能总和保持不变，即机械能守恒.

【例1】如图1所示，质量为m的小球从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端A点由静止下滑，到达斜面底端B点时的速度为2v0. 若小球从A点沿斜面以初速度■v0下滑，求小球到达斜面底端B点时的速度.

分析：小球沿斜面从A点运动到底端B点的过程中，只有小球所受的重力做功，其它的力不做功，则由小球和地球组成的系统（通常就说小球）机械能守恒. 取斜面底端处的重力势能为零，由机械能守恒定律得：

小球由静止下滑时：mgh=■m（2v0）2

小球以初速度■v0下滑时：mgh+■m（■v0）2=■mv2

解以上两式得：v=3v0 .

2. 只有弹力做功时机械能守恒

如果由弹簧与物体组成的系统内只有弹簧的弹力做功，系统内只有弹性势能与动能之间发生相互转化，而不与其它形式的能发生转化，则系统的弹性势能和动能总和保持不变，即系统机械能守恒.

【例2】如图2所示，一轻弹簧一端固定在墙上，另一端与物体A相连. 弹簧的原长为L，劲度系数为K. 当弹簧伸长（或缩短）的长度为x时，弹簧具有的弹性势能为EP =■Kx2. 物体A的质量为m. 现设法压缩弹簧，使弹簧的长度缩短l，然后撤除压缩装置，物体A在弹簧作用下开始运动. 求当物体A的速度为v时弹簧的长度.

分析：撤除压缩装置，物体A在弹簧作用下开始运动后，由物体A、弹簧和地球组成的系统，只有弹簧的弹力做功，其它的力不做功，可见，系统的机械能守恒. 设当物体A的速度为v时弹簧伸长（或缩短）长度为y，由机械能守恒定律得：

■Kl2 =■mv2+■Ky2

即：y=■

则此时弹簧的长度为：

L1=L+■或L2=L-■.

3. 重力与弹力同时做功，但无其它力做功时机械能也守恒

如果系统内同时有重力和弹力（这里的弹力仅指象弹簧等物体所产生的力，此弹力做功，将引起弹性势能与其它形式的能发生相互转化，高中阶段仅限于弹簧所产生的弹力）做功，系统内只有重力势能、弹性势能和动能之间的相互转化，而系统的总机械能保持不变，即系统的机械能守恒.

【例3】如图3所示，轻弹簧一端系一个质量为m的小球，另一端固定于O点，弹簧的劲度系数为K，弹簧的原长为L. 将小球拉到与O点等高处，并使弹簧的长度恰好等于原长. 将小球由静止释放，当小球运动到最低点时，弹簧伸长的长度为l，求小球到达最低点时速度的大小.

分析：由小球、弹簧（通常可隐去地球）组成的系统，在小球从A处运动到B处的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，故系统的机械能守恒. 取B处为重力势能的零势能位置，根据机械能守恒定律得：

mg（L+l）=■mv2+■Kl2

则小球在最低点B处的速度为：v=■.

4. 有内力（非重力和弹力）做功，但所做的功的代数和为零，则机械能守恒

如果系统内除了重力和弹力做功外，系统内的其它力（即内力）也做功，且这些力做功的代数和为零，此过程实现系统内一个物体的机械能转移到另一个物体上，系统的总机械能不变，即机械能守恒.

【例4】如图4所示，带有光滑的半径为R的1/4圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，此滑块的质量为M，一个质量为m的小球由静止开始从A点释放，当小球从滑块的B处水平飞出时，滑块的反冲速度为多大？

分析：在小球下滑过程中，由小球和滑块组成的系统，除小球所受的重力做功外，小球与滑块间的弹力也做功，小球所受到的弹力对小球做负功，滑块所受到的小球对它的弹力对滑块做正功，使得小球的一部分机械能转移到滑块上. 但由于两个弹力大小相等，作用点始终在同一点，因此，这两个弹力做功的代数和等于零，即系统的机械能守恒.

取B处为重力势能的零位置. 设滑块的反冲速度为v2 . 根据机械能守恒定律得：

mgR=■mv1 2 +■Mv2 2

由于系统在水平方向不受外力的作用，则系统在水平方向动量守恒：

mv1=Mv2

解以上兩式得：v2=■.

5. 有外力（非系统内的力）做功，且所做的功的代数和为零，则机械能守恒

若系统内除了重力和弹力做功外，系统外的力（外力）也做功，且外力做功的代数和为零，则系统与外界无能量交换，系统的总机械能保持不变，即系统的机械能守恒.

【例5】如图5所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水. 开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L. 打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（摩擦阻力忽略不计）

分析：取水柱和地球组成的系统为研究对象，在水柱运动的过程中，系统内有重力做功，系统外有大气压力做功，其中左边水柱受到的大气压力做正功，右边水柱受到的大气压力做负功，这两个力做功的代数和等于零，因此，系统与外界无能量交换，系统的机械能守恒.

从初始状态到左右支管水面相平止，此过程相当于有长L/2的水柱由左管移到右管. 此过程中系统的重力势能减少，动能增加. 整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱高度降低L/2重力势能的减少量. 设水柱总质量为8m，根据机械能守恒定律得：

mg·■=■·8m·v2 ???解得：v=■.

6. 有内力（非重力和弹力）做功，且所做的功的代数和不为零，则机械能不守恒

如果系统内除了重力和弹力做功外，系统内的其它力（即内力）也做功，且这些力做功的代数和不为零，此过程实现系统内与系统外物体间能量的转移或转化，系统的总机械能将发生变化，即系统的机械能不守恒.

【例6】海岸炮将炮弹水平射出. 炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m. 当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？（不计其它阻力）

分析：取炮身和炮弹为研究对象. 显然，在发射炮弹的过程中，系统内力做了功，将化学能转化为机械能，所以，系统的机械能不守恒.

当炮身固定时，化学能全部转化为炮弹的动能，即：

E=■mv2

当炮身不固定时，化学能转化为炮身和炮弹的动能，即：

E=■mv1 2 +■Mv2 2

由于炮身和炮弹组成的系统在水平方向不受外力作用，它们的总动量守恒，即：

mv1=Mv2

由于炮弹做平抛运动的射高相等，则炮弹两次射程之比等于抛出时初速度之比：

■=■

解以上几式得：s1=s■.

7. 有外力（非系统内的力）做功，且所做的功的代数和不为零，则机械能不守恒

若除了系统内重力和弹力做功外，系统外的力（外力）也做功，且外力做功的代数和不为零，则系统与外界有能量交换，系统的总机械能将发生变化，即系统的机械能不守恒.

【例7】质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图7所示，则力F所做的功为（ ???????）

A. mgLcos θ ???????B. FL sin θ

C. mgL（1-cos θ） ??D. FL cos θ

分析：取小球（包括地球）为研究对象，除了重力做功外，还有外力F也对小球做功，且外力做正功，将有能量从外界转移到小球上，使得小球的机械能增大，故小球的机械能不守恒. 设F所做的功为W，根据动能定理得：

W-mgL（1-cosθ）=0

则有：W=mgL（1-cosθ），可见本题的正确选项为C.

总之，一个系统是不是满足机械能守恒定律，关键在于该系统中有哪些力参与了做功，是将何种形式的能量转化为何种形式的能量. 如果只是动能和势能间的相互轉化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总量保持不变，即系统的机械能守恒.

责任编辑 ??李平安

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