| 标题 | “技”由“道”生 学在悟“道” |
| 范文 | 钱德春 摘要 “道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表现。数学中的“道”就是数学的本质、基本原理、通性通法。数学学习离不开技能与技巧，但关键在于悟“道”。“道”能生技，也能生巧，否则“技”就是无本之源。“道”需要教师的点拨引导，需要学习者主动感悟与反思、完善与升华。掌握了数学本质，“技”自然而生，从而达到“大道于心”的境界。 关键词 技 道 规律 基本原理 通性通法 一、问题提出 最近看到一段关于“分母有理化”的教学短视频，内容是如何将[432+3+7]分母有理化。大致过程如下： 师：（一段精彩的开场白）我们来看，4[3]=2×2×[3]，而22+（[3]）2=（[7]）2，因此，原式=[22+（3）2+43-（7）22+3+7=（2+3）2-（7）22+3+7]=[（2+3+7）（2+3-7）2+3+7=2+3-7]。 教者根据[43]与分母的特殊关系，利用逆向思维顺利解题，看上去方法非常巧妙。最后，教者画龙点睛：“拿到题目不要轻言放弃。有的人动不动就抱怨自己不行，或者没有靠山。我们应该自信——自己就是靠山。”视频中，教者眉飞色舞、表情丰富，语言幽默诙谐，让人看了大呼过瘾，相信听者一定会被这位教师夸张的表演深深吸引。 看完视频后，笔者不禁产生几个疑问：分母[2+3+7]中22+（[3]）2恰好等于[（7）2]，这个问题的设置是不是巧合？由此得到的解法是偶然的还是具有一般性的？若利用加法交换律、结合律将[2+3+7]变为[2+（3+7）]或[3+（2+7）]，该方法还行得通吗？如果将[432+3+7]换成形如[13+5-1]的式子，教者的方法还同样有效吗？初中数学中对分母有理化的教学要求如何？ 显然，该题本身具有特殊性。一是分母中各项之间具有（[a]）2+（[b]）2=（[c]）2的关系;二是解题方法不具有一般性，运用了特殊的技巧。笔者觉得这种视频中看不中用，如此讲课可能会将学生引入歧途。诚然，数学解题需要一定的技能与技巧，但教师教学要“授之以渔”，而不是“授之以鱼”，要引导学生回到概念、回到源头，回到最基本、最一般、最本质的思路与方法上来。另外，该内容明显超出义务教育课程标准要求。分母有理化问题在2011年版《义务教育数学课程标准》中已有所淡化，几种版本的教材也将此内容作为数学阅读供学生了解，如苏科版数学教材（下同）八年级下册第166页的“阅读”，所举例子的分母中最多也只涉及两项的分母有理化。 二、方法探究 分母有理化有没有最基本、最一般的方法呢？我们知道，分母有理化的复杂程度由分母中项的个数决定，解题的关键是如何寻找分母的有理化因式。如[1a]（a为正整数）分母只含有一项，其分母有理化比较简单。这里重点研究形如[1a±b]、[1a±b±c]、[1a±b±c±d]这3类代数式的分母有理化。 1.[1a±b]型（其中a、b为正整数）。 以[1a+b]为例。若a=b，则[1a+b]=[12a]= [a2a];若a[≠]b，因为[a+b]与[a-b]的积为a-b，故将分子、分母同乘[a-b]，有[1a+b]=[a-b（a+b）（a-b）]=[a-ba-b]。这里，“两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式”，如[a+b]与[a-b]叫作互为有理化因式，也叫作互为共轭因式。 2.[1a±b±c]型（其中a、b、c为正整数）。 以[1a+b+c]为例，此类问题一般不能将分母有理化一步到位，可分步实施，先转化为[1a±b]型即可。将[a]、[b]、[c]任意两项结合，如[1a+b+c]=[1（a+b）+c]，分子、分母同乘[a+b-c]，得[1a+b+c] =[a+b-c[（a+b）+c][（a+b）-c] =[（a+b）-c（a+b-c）+2ab]，这样分母转化为两项和的形式。 3.[1a±b±c±d]型（其中a、b、c、d为正整数）。 以[1a+b+c+d]为例，分母各项任意结合。分子、分母同乘（[a+b]）-[（c+d）]，得[1a+b+c+d]=[（a+b）-（c+d）[（a+b）+（c+d][（a+b）-（c+d）]]=[（a+b）-（c+d）（a+b-c-d）+2ab-2cd]，从而将代数式转化为形如[1a±b±c]的形式。 三、谈“技”论“道” 与短视频中授课教师的方法相比，上述方法虽然比较烦琐，但更具一般性。我们将特殊的技能、技巧称为“技”，将事物一般性、本质性的规律、方法称为“道”。那么“技”和“道”究竟是什么关系呢？显然，“道”是事物的根本，“技”是“道”的外在表现。数学中的“道”就是数学的本质、基本原理、通性通法。数学教学也好，解题也罢，一定离不开“技”，但没有“道”，“技”就成了無本之源。 1.学在悟“道”。 数学之“道”的形成是一个生长过程，需要教师的引导与点拨，需要学习者的领悟与建构、不断完善与升华。因此，数学学习的关键在于悟“道”。 （1）“道”的形成是一个生长过程。 数学之“道”是生长出来的，“道”的形成过程是学习与理解、运用与体验的生长过程，是经历从低级到高级、从特殊到一般、从具体到抽象的过程。如在“分母有理化”问题的学习中，学生必须弄清这样几个问题：分母为什么会出现根式、什么叫作分母有理化、为什么要分母有理化、分母如何有理化。在这个过程中，学生不断增长数学知识、深化数学理解、掌握数学方法、感悟数学本质，从而明晰数学之“道”。 ①分母为什么会出现根式？ 分母出现二次根式的主要原因是除法运算中除数含有二次根式。如八下教材P155：已知平行四边形的面积为[10]，一边的长为[5]，求这边上的高。根据面积公式得到所求边上的高为[105]，这就出现了形如[1a]的形式，其中分母含有二次根式。又如：“△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=15°，求△ABC的面积。”欲求△ABC的面积，只要求BC的长，由于AC长及∠A=15°已知，关键是如何利用15°的条件，由此联想到30°，构造特殊三角形：在AC上取一点D，使∠BDC=30°（如图1），设BC=x，则BD=AD=2x，CD=[3x]，所以AC=2x+[3x]=（2+[3]）x。因为AC=6，所以（2+[3]）x=6，则x=[62+3]，此时出现了形如[1a+b]的式子。 ②什么叫作分母有理化？ 像[105]、[62+3]这种分母含有二次根式的代数式，通过适当的变形化去分母中根号的运算，就叫作分母有理化。 ③为什么要分母有理化？ 这是源于数学“最简”原则。简洁是数学的特征之一，也是现实的需要。数学总是追求“最简”，如思路与方法、运算过程、形式与结果的“最简”;如能用简便方法的不用复杂方法，能用整式表示的不用分式表示，能化为积的形式的不用除法表示。就分母含有二次根式的运算而言，乘法运算比除法运算简便，无理数除以有理数比一个数除以无理数运算更方便。分母有理化（即化去分母中的二次根式）后，数学运算及实际问题中取近似值会更加方便。如求[105]的近似值，如果直接计算则要将[10]与[5]的近似值代入计算，此时分母出现小数，计算会比较复杂。但分母有理化后结果为[2]，因此，只要知道[2]的近似值即可。再如求[62+3]的近似值，如果取[3]≈1.732，那么[62+3]≈[62+1.732]，这样的计算也比较烦琐，而分母有理化后结果为6（2-[3]），其近似值为6×（2-1.732），转化为求两数积的运算，过程就显得简便。 ④分母如何有理化？ 在[105]中，分母如何有理化呢？（法一）观察式子，发现分子[10]=[5]×[2]，所以[105]=[5×25]=[2]。（法二）思考的关键是如何将分母中的[5] 变为有理数。联想到二次根式产生的原因是开平方，“解铃还须系铃人”，故平方可以解锁，即（[5]）2=5=[5×5]。要将分母变为5，可以乘[5]，根据分式的基本性质，分子必须同时乘[5]，这样就有：[105]=[5×25]=[2]。比较两种方法发现：方法一巧妙地利用了分子、分母都含有[5]这个“因数”的特征，“约简”即可，方法优美、过程简洁，这就是“技”。但问题是，不是所有的式子分子、分母都可以约简，该方法不具有一般性。方法二则“放之四海而皆准”。 如何将[33-2]分母有理化？基本方法就是“平方”，即出现（[3]）2和（[2]）2，然后联想到平方差公式，则（[3-2]）（[3+2）]=（[3]）2-（[2]）2=1（具体过程略）。 至于分母超过3项的二次根式和（差）、根号内含字母的分母有理化方法，见本文“二、方法探究”。 （2）“道”需要教师的点拨与引导。 2011年版《义务教育数学课程标准》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。” 这说明教学中教师的启发、引导不可或缺。教师要设计恰当的数学情境，让学生感受为什么分母出现二次根式，为什么要化去分母中的根式，什么叫作分母有理化。教师通过具体案例的教学，让学生思考分母有理化的关键是什么、如何分母有理化。同时，在探究过程中自然会出现分母为单个根式、两个二次根式的和与差、三个根式的和与差如何处理的问题。教师引导学生思考：这样处理的思维源头在哪里？其中蕴含了哪些数学思想方法？从而达到启思与点拨的目的。 （3）“道”需要学习者体会与感悟。 老子言：“道可道，非常道。名可名，非常名。”意即能够言明的就不成为“道”，可见“道”需要体验与感悟。学生“掌握知识，既不像照相机、录音机那样仅仅对外界信息消极地接受和储存，也不像容器那样被动地‘填装，而是一种能动的认识过程”。教师的启发、引导与点拨，只有通过学习者主动积极的思考、领悟、建构、反思，才能转化为学生自己的知识、智慧和能力。 比如，学生可结合实例自主思考：分母有理化的本质就是追求形式与结果的“最简”，基本方法是转化——将“除法运算”转化为“乘法运算”;理论依据是分数（式）的基本性质;被开方数含字母的分母有理化可类比具体数的分母有理化。在掌握这个数学本质的前提下，适当归纳、梳理分母有理化的特点、类型，从而建构相关知识、方法体系，体验类比、转化、特殊到一般等数学思想方法。这正是数学之“道”。悟“道”的过程就是学生主动建构、自主感悟、独立思考的过程，而不是他人的给予、灌输和牵引。正如《学记》所言：“君子之教，喻也：道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。” （4）“道”需要自我的反思与完善。 从哲学角度来说，数学之“道”是数学内在的发展规律与人类对数学的认知规律。数学总是在发现矛盾、遭遇危机后，经过数学家的艰苦努力，从而克服危机，取得了新的突破，得到新的发展，正所谓“逢山开路、遇水架桥”，這就是数学的发展之“道”。 以数系的发展为例。远古时代人们在分配物品的过程中出现了分数，小数由此诞生了;人们发现了数的“不可公度性”，无理数应运而生，从而出现实数系;“实数时代”默认负数不能开平方，但出现了负数开方的问题，人们将[-1]记为i，称为虚数，复平面的发明给复数以几何解释，使虚数有了现实意义，从而使数学向前迈了一大步。这就是不断反思、不断完善的过程。 再比如，几何图形的研究一般按照“定义→表示→分类→性质（判定）”的“套路”进行。这个“套路”的形成是一个循序渐进、逐步完善的过程。在几何学习初始阶段，如在七年级“直线、射线、线段”和“角”“相交线与平行线”的学习中，教师引导学生初步感知几何研究的“套路”，积累几何研究活动经验;在八年级“三角形”“四边形”的学习中借鉴七年级的几何研究活动经验，并将这种经验提升为一种策略;到了九年级“圆”和“相似三角形”的学习时，学生通过自主反思，不断完善这种策略，使之升华为几何研究的“套路”。 这些数学发展的规律、问题研究的方法与路径，有时教材难以直接呈现，也难以通过一两个具体问题的解决加以归纳，需要学习者在学习过程中慢慢思考、感悟，经历从特殊到一般、从低级到高级的过程，逐步认识、理解与完善数学发展规律，并升华为数学认识的一种策略、方法和观念，从而达到积“小技”为“大能”、变“小道”为“大道”的目的，为更高层次的数学学习奠定基础，这才是数学的学习之“道”。 2.“技”由“道”生。 “熟能生巧”或许有一定道理，却是数学学习的大忌。不少学生平时测试成绩较好，但在比较正式的考试中却成绩平平。这是什么原因呢？由于平时有的测试中原创题较少，大多是教师讲过或反复训练过的“熟题”，学生不需动脑筋，凭记忆就能得高分。但中考、高考等测试中的试题以原创题为主，试题的背景、形式、结构新颖，不少学生面对新题型、新面孔只能望“题”兴叹。 因此，学习的重点在于悟“道”，掌握了数学基本原理、基本方法等最本质的东西之后，“技”自然而生，就能应对形形色色的数学问题。 如分母有理化[16-3+2-1]。 我们可以按照第3种类型的方法进行计算，但仔细观察可以发现，分母可以变形为（[2-1]）（[3+1）]，即[16-3+2-1]=[12-1]·[13+1]，因此，只要将[12-1]与[13+1]分别分母有理化即可（具體过程略）。 再比如，比较 [3]-[2]与[6]-[5]的大小。 一般用作差法：因为[3]-[2]-（[6]-[5]）=[3]+[5]-（[2]+[6]），所以比较[3]+[5]与[2]+[6]两数平方的大小。（[3]+[5]）2-（[2]+[6]）2=8+2[15]-（8+4[3]）=2[15]-4[3]=2（[15]-[23]），再比较[15]与2[3]两数的平方大小，显然（[15]）2-（2[3]）2=15-12[>]0。 但观察两个代数式的特征，还可以想到用有理化因式：因为[3]-[2]=[13+2]，[6]-[5]=[16+5]，而[3]+[2] <[6]+[5]，所以[3]-[2][>][6]-[5]。这种方法简便快捷，让人有畅快淋漓的感觉，这就是由“道”生“技”的魅力所在。 这两个例子说明：悟出分母有理化之“道”，任你问题千变万化，都能以“道”化之;观察代数式的不同特点，还可以根据具体问题思考不同的分母有理化策略和技能，由“道”生“技”。 由此可见，“技”不足“道”，“技”由“道”生。数学学习的根本任务在于悟“道”，即经历知识产生的过程，感悟、思考、归纳数学的基本原理、通性通法。只有这样，在面对具体问题时才能以不变应万变，达到“大道于心”的境界。 （作者单位：江苏省泰州市教育局教研室） |
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