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数学活动的特征、设计与组织原则*

范文

顾大权

摘? ?要? ?数学活动是实施数学课堂教学的基本环节，是数学活动经验获得的主要途径。分析数学活动的特征和内涵，会帮助教师科学地设计数学活动，合理地组织数学活动的教学，提高课堂教学效率，也会帮助学生积累数学基本活动经验。

关键词? ?数学教学? 数学活动? 教学设计

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[1]。数学活动是获得数学活动经验的主要途径，因此有必要去研究数学活动。数学活动的中心词是“活动”，活动需要学生主体参与，活动能激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考。数学活动的教学应从强调教学的结果性向强调教学的过程性转变、从强调教师为主体教向强调学生为主体学转变、从强调数学知识传授向强调学生的素养发展转变，这也是立德树人教育任务和核心素养培育的要求，因此开展数学活动教学是当前课堂教学的需要。

关于数学活动的定义，各方还不统一，没有一个明确的定义[2]。本文认为数学活动是由问题或操作入手、通过动手实践操作或动脑思考、经历数学化的过程、有数学思维参与的学习活动。分析数学活动的特征，理解数学活动的内涵，会帮助教师合理设计教学活动过程，顺利开展数学活动的教学。

一、数学活动的特征

1.数学活动的抽象性

弗赖登塔尔认为：“数学活动是学生经历数学化过程、建构数学知识的活动”。在数学活动中，学生要有足够的时间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等方式参与到活动中来，通过积极思考、交流形成自己的看法，发现其内涵，理解其含义。这一过程中学生必须经历抽象、概括等数学化的过程，舍弃对象的其他属性，仅研究数量关系、空间形式等数学属性。学生在数学学习活动中，不断对已有的结论进行抽象、概括建构形成新的知识，因此数学活动必须要经历抽象、概括的数学化过程。

2.数学活动的思维性

斯托里亚尔认为：“数学教学是数学思维活动的教学”[3]。数学活动包括操作实践等外部的行为活动和动脑思考、抽象概括等内部的思维活动。数学活动一般从教师组织材料、设计活动过程、组织动手实践等外部的行为活动开始，到引发学生思考，开展合作交流、猜想验证、反思质疑等方式的内部思维活动结束，其中要使现实中的问题或已有的结论在不断抽象、概括等思维活动中形成新的结论或新的应用。操作实践活动和数学思维活动相辅相成、相互影响，对知识的建构起着互相促进的作用。因此，数学活动离不开思维的参与，具有思维性。

3.数学活动的层次性

学生的数学学习过程是一个数学活动的过程，更是一个意义建构的过程[3]。教学过程中，从学生的已有知识经验出发，到教学目标的实现，学生的认知围绕“活动”来推动，当一个活动不能从学生的现有知识基础顺利到达最后的教学目标时，需要通过一系列的活动来过渡，这一系列活动之间要循序渐进，按照一定的层次来推进。前一个活动为后一个活动做铺垫，后一个活动是前一个活动的深入，活动推动着学生达成教学目标。

4.数学活动的主体性

数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者[1]。从建构主义的理论来看，学生的学习过程是知识建构的活动过程。由于学生知识基础和活动经验不同，活动中学生的参与度、对知识的理解、体验也不一定相同，但必须坚持學生的主体地位，鼓励学生猜想、辨析、思考、实践和探索，用自己的方式解决问题，才能建构成为有效的知识，才能在活动中提升学生的素养和能力。

二、数学活动的设计

1.数学活动的内容设计

数学活动的内容包括操作实践类活动和数学思维类活动，操作实践类活动以操作步骤呈现，思维类活动以问题串的形式呈现。设计一个有效的数学活动需要有以下几个条件：该活动能给学生创设良好的操作环境和问题情境，适合每一个学生参与;该活动能给学生营造一个探索空间，便于学生提炼与积累基本数学活动经验;该活动能充分体现数学化的过程和数学思维的特点，让学生通过活动看到数学活动内容的本质。因此，数学活动内容的设计要经历数学化、要有数学思维参与，反应出数学活动内容的本质，这样的数学活动才能获得对数学活动的本质认识和深刻理解。

案例1：《数学》（苏科版）九年级上册“2.5直线与圆的位置关系（3）”的活动设计

问题1.要从一块三角形铁皮余料中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？

问题2.圆的面积最大时，⊙O与三角形的三边是什么位置关系？

问题3.要剪出这个圆，关键要找到什么？

问题4.由三条边都是切线你想到了什么？

概念介绍：三角形的内切圆（见图2）

问题5.能否给三角形的内切圆下个定义？

问题6.三角形的内切圆和圆外切三角形的“内”和“外”两个字如何理解？“切”字又如何理解？

问题7.一个三角形有几个内切圆？为什么？

【设计说明】问题1要让学生经历数学化的过程，将实际问题抽象成在一个三角形中画一个圆，并且使圆的面积最大。问题2让学生经历操作探索、交流互动等主体活动，发现圆的面积最大时，就是圆和三角形的三边都相切的时候，本质就是作一个圆，使它与三角形的三边都相切。问题3、4就是要找圆心和半径，圆心到三边的距离相等，所以圆心就在三个角的平分线上，画出两个角的平分线，就确定出圆心，半径就是圆心到三边的垂线段，过圆心做一边的垂线段，就确定了半径。问题5、6、7通过对定义的文字认识加强对概念的理解。这个数学活动学生经历去情境化，将实际问题变成数学问题，并提炼出共同的本质属性，积累了数学化的活动经验。在活动中经历数学思维发现内心是怎样形成的，知道了知识产生的来龙去脉，在操作的活动过程中获得了隐性的数学知识，积累了数学活动的经验。

2.数学活动的过程设计

知识产生的过程就是不断面对新问题、发现新问题、提出新问题，解决新问题的过程。学生的认知方式也是通过经历的活动实现再发现和再创造的过程，即从已有的数学知识经验出发，对已有的知识经验重新认识、重新发现、重新加工，这个过程需要通过活动来推动。从学生已有的知识经验到教学目标的实现，可能需要多个活动才能达到，这时数学活动的设计要以一定的层次展开，各个活动之间层次清楚、脉络分明、循序渐进，这样才能将学生的认识带到一个更高的层次上，使数学活动的本质得到落实。

案例2：《数学》（苏科版）八年级上册“6.1函数”的活动设计

活动1：随着一天时间的变化，气温也随之变化;随着学生年龄的增长，体重越来越重;随着国歌播放时间的进行，国旗的越升越高;随着圆的半径的增大，圆的面积越来越大……

活动2：

问题1.列车从甲地驶往乙地，在16：17到16：22这个时段，列车在匀速行驶的过程中有哪些量？在这些量中有哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？

问题2.银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是银行公布的年利率：

存期x与年利率y有什么关系？

问题3如图3，搭一个正多边形图案需要8根火柴棒，每多搭一个正多边形图案就要增加7根火柴棒，请说出搭正多边形图案过程中的常量和变量。

你能写出搭n个正多边形图案所需的火柴棒数s与正多边形个数n之间的关系式吗？

活动3：请学生再列举出一些生活中满足上述属性的实例，通过大量的实例，让学生多角度、多层面认识和理解实例的本质属性，并指出满足上述本质属性的例子就是函数，提炼这些实例具有的本质属性，概括归纳并试着给函数下个定义。共同归纳表述函数的定义：一般地，在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。

【设计说明】活动1从生活实际入手，从现实背景引领学生进行数学化，感受在变化过程中有两个变量，一个量发生变化时，另一个量也在发生变化。活动2在活动1的基础上逐渐深入，围绕几个问题的共同特征的本质属性进行提炼：具有两个变量，两个变量之间存在着唯一对应关系，每当一个变量取一個定值，另一个变量有唯一的值与其对应。活动3在前两个活动的基础上继续深入，通过大量的具体实例发现了函数的本质属性，通过概括总结，让学生对本质属性有了完整的认识，在活动中逐层深入提炼出函数的本质属性，并将函数的本质属性进行符号化，利用数学符号来表征函数的概念。

三、数学活动的组织原则

1.确立学生在数学活动中的主体地位

有效的数学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体。教师要放手让学生充分参与数学活动，让学生有足够的时间进行活动，并在活动中大胆去想、去做。学生在数学活动中的发现，教师要给学生平等交流和表达的机会，鼓励学生去猜想，引导学生去验证，找到合理的解决方法，才能在活动中建构数学知识。另外由于学生的知识基础、活动经验等存在的个体差异，活动中学生对知识的理解和体验也有差异，因此活动中学生的交往互动、合作学习就很有必要，这样才能真正实现从教师教到学生学的转变，从知识传授到素养提升的转变。

2.发挥教师在数学活动中的引导作用

数学活动中应体现学生的主体作用，但由于学生自身经验、基础等局限，使得学生在数学活动中的体验是浅层次的、模糊的，需要教师的帮助和引导，激活已有的经验，形成更多的活动联系点，提高活动的有效性。教师的有效引导可在活动处于无助的状态下让活动的目标更明确，不断将活动引向更深的层次，让学生的思维更加开阔，思路更加清晰，形成思想方法。教师的有效引导可以掌控数学活动的方向和进程，带领学生经历一个又一个活动层次，不断解决问题又发现新问题，直至目标的实现，既符合学生的知识建构顺序，又实现了不仅关注活动的结果，更加关注活动的过程的目的。

3.营造活动中宽松、和谐的文化氛围

要确定班级活动中学生的主体地位，既要学生个人的独立思考，又要学生之间的合作交流。中学生课堂上喜欢表现自己，但又比较敏感，常会担心回答错误或操作失误而受到老师的责备和同学的嘲笑。因此，营造宽松、和谐的班级文化氛围会避免学生被批评和嘲笑，避免学生不愿意参加活动，不愿意和同学交流自己的真实想法，不愿意发表自己的见解，以沉默的方式对待，错过了展示的机会，丧失了对知识的真正理解。教师应平等的对待每一位学生，给学生表达的机会，让学生说出内心的想法，不因为学生的想法和教师不一致就强硬地扭转学生的真实想法，不讽刺挖苦。同学之间要规范言行，倾听别人的见解，发表自己的独到见解，吸纳与众不同的观点，营造互相信任和尊重的氛围，让学生无拘束的展示、交流和争辩，才能发挥活动的作用。

参考文献

[1] 马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 潘小梅.初中数学教学研究入门36问[M].浙江：浙江大学出版社，2017.

[3] 王宽明，夏小刚.建构数学活动的要义及特征分析[J].教学与管理，2012（03）.

【责任编辑? 郭振玲】

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