| 标题 | 中学数学课题式教学概述 |
| 范文 | 沈威 曹广福 摘要：基于数学课题研究的创造性特征，初步提出中学数学课题式教学，围绕数学形成的本来面目，让学生经历数学“再创造”的过程，发展数学思维能力，提升数学核心素养。中学数学课题式教学的逻辑起点是数学本原，根本动力是问题驱动。其环节设计主要应回答“所教数学内容的数学本原是什么”“学生拥有哪些数学现实和生活经验”等7个方面的问题。 关键词：课题式教学 数学本原 问题驱动 再创造 中学数学的很多教学方法（模式）主要关注每节课的教学实施，但不关注各章节知识之间联系的教学处理，造成每节课教学自成一体、相互分裂的局面，缺乏对各章节知识之间统领性问题情境、数学思想、科学价值等的教学设计。这造成学生学到的是碎片化的知识点，没有掌握与理解这些知识产生背后的重要性、关联性、统领性。破解上述问题的主要方向是，从教学内容和教学方法两个方面入手，重构中学数学教学方法（模式）。基于此，初步提出中学数学课题式教学（以下简称“课题式教学”）。 一、课题式教学的含义 （一）课题 “课题”一词来源于科学研究话语体系。科学研究的课题主要分为经验课题和理论课题。其中，经验课题研究的目的是揭示、精确描述和认真研究各种现象和过程的不同要素;理论课题研究的目的是根据科学原理和认识方法研究和揭示决定客体形状、结构、特性的各种原因、联系和相互关系。在开展理论课题研究时，逻辑认识方法非常重要，利用这一方法可在推理的基础上解释各种现象和过程，提出各种假设和猜想，并确定解决的途径，建构概念、原理与思想等。理论课题研究的特征是创造性。 数学研究的课题属于理论课题，其研究的目的是揭示数学研究对象间的相互关系，建构数学知识体系或解决现实问题，体现知识价值、思想价值和科学价值。因此，在确定数学研究课题时，要明确课题的形成背景是什么，从课题背景中可以凝练出哪些本原性问题、哪些派生性问题，哪些问题值得研究，为什么要研究这些问题，问题的重要性体现在哪里，解决问题的关键是什么，要用到哪些方法，问题是如何被解决的，由此形成了哪些新的数学知识，对数学学科的价值是什么，对科学研究的价值是什么，对技术发展有什么帮助，对社会经济发展有什么作用等。经过创造性的研究，建构新的数学概念、原理、公式、法则、体系、结构与方法等。 （二）课题式教学 课题式教学以“数学教育是数学的再创造”和“数学教学是数学思维活动的教学”为理念，以数学知识形成的历史事实及其科学价值、学生的数学现实和生活现实为基础，把数学内容设计为数学课题，引导学生围绕促使理论产生的系列问题展开研究，通过问题的发现、提出、分析与解决，完成数学的“再创造”，使得学生掌握数学知识，建构数学认知结构，发展数学思维。 要把数学内容设计为数学课题，教师需要掌握数学知识是如何产生的，源于什么样的背景，解决了什么样的问题等。此外，由于学生受到知识面和思维能力的限制，课题式教学过程应由教师主导，甚至主讲。在课堂上，教师要引导学生完成三个核心过程：要学什么，为什么要学，怎么学。在教学中，学生可以参与或不参与教师问题的回答，但要保持“火热的思考”并与教师教学过程进行内在的互动。 二、课题式教学的逻辑起点与根本动力 （一）逻辑起点是数学本原 任何教学方法都有逻辑起点。课题式教学的逻辑起点是什么，是课题式教学设计首要面对的问题。课题式教学与数学课题研究不同：中学数学知识是完全成熟的数学理论体系，其形成的历史背景与数学问题、蕴含的数学思想和应用的科学价值等均客观存在，是其得以形成的根据及存在的原因。哲学这样界定“本原”：“本原意指某种东西的本性得以发端的根据及其存在得以可能的基础，本原是一种特殊的存在，它的本性在时间中保持不变……本原都是贯穿其中的最具决定性的东西;与本原相比，其他的构成要素显得微不足道。”据此，把数学知识形成的历史背景与数学问题、蕴含的数学思想和应用的科学价值等称为该数学知识的数学本原。 例如，高中数学中的数学归纳法，它的数学本原是什么？华罗庚指出，小孩子学数数，先学会一个、两个、三个……十、二十、三十……一百，然后学会两百、三百……一千……，数字从一个一个增长到一段一段增长;接着是飞跃前进，从有限飞跃到无穷，到了某一时候，他说领悟了，会说“我什么数都会数了”。如果没有这个飞跃，人生有限，数目无穷，就是学一辈子，也学不尽。解释这个飞跃现象的原理正是数学归纳法。数学归纳法能极有力地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。 当数学归纳法抽象为“当n=1时命题正确，假设n=k时命题正确，当n=k+1时命题也正确，则命题对所有自然数n都成立”时，其揭示了对于一个命题，仅仅验证有限次，即使是千次、万次，还不能肯定这个命题的一般正确性，必须要“当n=1时命题正确”和“假设n=k时命题正确，当n=k+1时命题也正确”同时成立，缺一不可。 数学归纳法不但能帮助我们“进”，即由有限到无穷，还可以帮助我们“退”，即把一个比较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题，把这个最简单、最原始问题想通了、想透了，再用数学归纳法来一个“飞跃”，问题也就迎刃而解了。此外，数学归纳法形成的数学依据是自然数的皮亚诺公理，由此就建立了数学归纳法与自然数性质的关系。 课题研究创造的是学术形态的数学知识。将其转化为课题式教学时，首先要把学术形态的数学知识形成的数学本原做教育形态化加工，把数学知识的数学本原蕴含的数学思想和科学价值与学生的数学现实和生活经验相结合，重构出适合学生学习的问题情境。由此可见，课题式教学的逻辑起点是数学知识的数学本原。数学本原对课题式教学的价值在于提供了数学知识产生的真实原因和过程，为数学知识教育形态的“再加工”指明了方向，使教师把数学知识产生过程中经历的关键性步骤融入其教学形态，确保学生經历数学知识“再创造”的“仿真”过程，而不是凭空捏造。如此周折的目的在于让学生在数学知识的“再创造”中像数学家创造该知识时那样思考，与思想对话，包括提出了哪些问题，用到了哪些数学知识、数学思想，做了哪些思辨，思维如何加工知识，甚至走了哪些弯路等。 （二）根本动力是问题驱动 推动人类去认识事物的根本动力是问题。问题是求知的前提、探索的动力。问题起于求知，求知导致探索，探索导致解答，于是知识产生了。数学知识产生的本原情境不一定适合学生，也就需要数学知识的数学本原与学生的数学现实和生活经验有机结合，重构出揭示数学本原并适合学生的问题情境。教师引导学生围绕问题情境产生问题，形成概念、原理或理论产生的原始问题，即本原性问题;而在寻求问题解答的过程中，也就是在理论发展的过程中，由于自身矛盾冲突生发新的问题，被称为派生性问题。本原性问题和派生性问题推动课题式教学深入进行。 例如，华罗庚指出了数学归纳法的数学本原，但不是直接以该数学本原为例展示如何教学的，而是把这个数学本原和学生的生活经验相结合，重构了一个袋子摸球的问题情境： 从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球、第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球时，我们会立刻出现一个猜想：是不是这个袋子里的东西全部是红玻璃球？但是，当有一次摸出一个白玻璃球时，第一个猜想便失败了。这时，我们就会出现第二个猜想：是不是袋里的东西全部是玻璃球？但是，当有一次摸出一个木球时，第二个猜想又失败了。这时，我们又会出现第三个猜想：是不是袋子里的东西全部是球？这个猜想对不对，还必须加以检验：要把袋子里的东西全部摸出来，才能见分晓。 由此，华罗庚引出一个问题：袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完，由此可以得出一个肯定的结论，但是，如果东西是无穷的，那怎么办？这个问题就是形成数学归纳法的本原性问题，可据此引出从有限个到无穷个的归纳原理。 当然，不是只能用这个问题情境形成数学归纳法的本原性问题。有教师以多米诺骨牌视频为问题情境，形成本原性问题：视频中的多米诺骨牌是有限的，可以看到能否全部倒下，但是，如果多米諾骨牌是无穷的，那它们都能倒下吗？要让多米诺骨牌都倒下，需要什么条件？ 在获得数学归纳法之后，再在数学归纳法的基础上提出“若n不是从1开始的，而是从k0开始的，数学归纳法还正确吗？”“假设当n=k时命题成立，那么n=k+2时命题成立吗？”等派生性问题，不断完善数学归纳法的知识体系。 由问题驱动形成的探究动机，推动着学生数学概念与原理的生成，从无知到有知，从少知到多知，从未知到已知，让学生经历数学发展的“再创造”过程，善于观察各种生活现象，并透过这些现象发现有规律的知识，形成数学思想，进而发展发现和提出问题的洞察力、分析和解决问题的思考力。 三、课题式教学的基本环节 确立课题式教学的逻辑起点与根本动力后，就要设计切实可行的教学环节，为把课题式教学落到实处提供依据。课题式教学的设计是一个有目的、有结构、有顺序、有层次的方法论体系，要解决如何使课题式教学更贴切体现“再创造”的数学教育思想的问题。具体的环节设计主要应回答以下7个方面的问题： 1.所教数学内容的数学本原是什么？德国哲学家、教育家卡尔·雅斯贝尔斯指出：“教育的关键全在于选择完善的教育内容，尽可能使学生之‘思导向事物的本原，而不误入歧途。”数学本原包括数学内容是如何产生的，产生的真实原因是什么，经历了哪些标志性过程，出现了哪些转折，新出现的问题属于什么转折，问题的解决带来了哪些科学价值，蕴含着哪些数学思想等，需要教师深入了解数学知识产生的历史背景与科学价值，以及课程在发生、发展过程中面临什么样的问题。这是决定课题式教学成败的关键。 2.学生拥有哪些数学现实和生活经验？包括学生已经掌握了哪些数学概念、性质、定理、公式、法则、思想与方法，具备了怎样的观察能力、猜想能力、归纳能力、演绎能力、直觉能力等，在日常生活中使用了哪些学习工具、娱乐玩具等，具备了怎样的操作与理解科学知识以及分析与解决问题的能力等。 3.基于数学本原和学生数学现实与生活经验应重构什么样的问题情境？问题情境是数学知识产生的根本原因，因此，问题情境要蕴含数学知识形成的数学本原或科学价值。此外，问题情境还要适应学生的数学现实和生活经验，反映概念与定理产生与发展的必然，因此，重构的问题情境要具有统领性，揭示数学内容的本质，应是一系列内容形成的基础。超出学生数学现实或生活经验的问题情境必然让学生难以理解，会增加他们思考的负担，影响学习的有效开展。 4.从问题情境中引出的本原性问题是什么？派生性问题是什么？事实上，本原性问题和派生性问题并不是此时才去挖掘的，而应是在弄清数学本原时就已经明确的，此时只不过是确认何时把本原性问题和派生性问题从问题情境中引导出来，判断由本原性问题和派生性问题可以形成哪些章节内容。但是，这样的环节必不可少，是连接问题情境与学生“再创造”的核心载体——缺少它们，学生的“再创造”就无从谈起。 5.为什么要研究这些问题，它们的重要性体现在哪里？探究某一内容必然有其必要性，教师要挖掘出探究这一内容的根本原因，即其重要性体现在哪些方面，有什么数学价值，有什么科学价值，对数学问题的解决有什么帮助，对培养学生的数学核心素养有什么作用。 6.解决这些问题的关键是什么？包括如何研究所确定的本原性问题和派生性问题，研究这些问题需要哪些概念、性质、定理、公式、思想、方法等，如何运用它们解决问题，解决问题的每一步是怎么想到的，运用了哪些数学工具，这些数学工具是如何想到的，其数学关系是如何转换的，需要用到哪些思维操作，这些思维操作对解决问题能起到哪些关键作用等。 7.解决这些问题能够带来什么？包括通过问题解决建构的知识对数学内容体系的完善有什么价值;对其他学科和社会经济发展有什么价值;对学生的观察、实验、想象、直觉、猜想、检验、反驳等科学研究方法训练有什么帮助;对学生的归纳、演绎、聚合、发散等思维能力，逻辑、形象和直觉等思维方式，创新意识和创新能力等的提升有什么价值;对数学核心素养的培养与立德树人根本任务的落实有什么作用。 解决上述7个问题之后，便可以设计课题式教学的架构。教师在教学伊始，要从宏观层面对相关内容产生的背景及其数学价值、科学价值做出明确说明。之后，可展示设计好的具有统领性的问题情境，启发与引导学生根据问题情境从无到有地凝练本原性问题和派生性问题。教师可以先让学生从中提出问题，然后根据学生所提问题做出进一步引导。如果学生所提问题就是本原性问题，教师可以引导学生继续研究;如果学生所提问题不是本原性问题，教师需要进一步将学生导向本原性问题;如果学生想不到，教师可以自己提出本原性问题，由此形成一个宏观课题。而后，教师要引导学生分析如何解决本原性问题，进一步引出一系列派生性问题，由此形成一系列子课题——每一个子课题就形成一个章节，也就形成了数学内容各章节的学习任务。每一章节之间既具有相对独立性，又相互有着逻辑关系，表现出逻辑环环相扣，内容层层递进。 在每一章节的教学过程中，教师可以启发、引导学生思考，但是学生思维能力和知识储备等因素决定了学生很难独立发现和提出问题、分析问题和解决问题，决定了课堂教学要以教师讲解示范为主，向学生展示如何发现、提出问题，如何寻找解决问题的方法，遇到困难时如何调整解决思路，如何评估解题思路，这些思路是如何想到的等。通过教师的示范引导，让学生亲身体会思维深处蕴含的数学思想，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。每一章节的教学都要回答几乎同样的4个问题：课题的意义是什么？其在课程中的地位是什么？需要解决哪些问题？解决问题的途径是什么？回答完这4个问题后，便可顺利进入下一章节的学习。整个课程的教学如同一个大课题被分解为若干个子课题，层层推进。完成整个研究过程后，课题研究也就完成了，课程的教学任务便随之完成。 总之，课题式教学在尊重数学本原的基础上，从宏观、中观到微观层面对数学教学内容进行课题式研究的重构，把教学过程当成科研过程。“其初难知”决定了课题式教学需要教师投入足够的精力，充分把握数学教学内容的发生过程，熟悉数学史，从中找出或通过合情推理梳理出数学理论产生的根源。此外，教师要具备科学研究的经验，才能真正做到把教学过程当成科研过程。综合运用讲授式、启发式、探究式等教学方法中的有效做法，使学生真正经历数学“再创造”的过程，发展数学思维能力，提升数学核心素养。 本文系广东省教育科学规划项目“数学教师实践性知识及其教学表现研究”（编号：2018GXJK184）的阶段性研究成果。 參考文献： [1] 沈威，曹广福.高中三角函数教育形态的重构[J].数学教育学报，2017（6）. 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