网站首页  词典首页

请输入您要查询的论文:

 

标题 对2016年常州市中考数学第18题的分析与思考
范文

    黄波波

    

    

    摘要:2016年常州市中考数学第18题是一道典型的求面积最值问题,本题考查等边三角形、全等三角形、平行四边形、直角三角形、图形面积计算等相关知识,在解题的过程中可能用到配方法、数形结合思想、转化思想等.对本题的研究有利于引导学生夯实基础知识、体会数学思想、挖掘数学本质.

    关键词:图形;面积;转化思想

    1 题目呈现

    如图l,AAPB中,AB =2,∠APB= 90°,在AB的同侧作正△ABD,正△APE,正△BCP,则四边形PCDE面积的最大值是____。

    2 解题思路分析

    2.1 证明四边形PCDE是平行四边形

    正三角形的三个内角都是60°,三条边都相等.由∠DAB=∠EAP= 60°,可得∠BAP=∠DAE.又有AB=AD,AP= AE,所以△ABP≌△ADE,从而得到BP=DE.而BP= CP,所以CP= DE.同理可得EP= DC.所以四边形PCDE是平行四边形.

    2.2 表示出平行四边形PCDE的面积

    设PE =a,PC =b.要求平行四边形的面积,需要知道平行四边形的底和高,如果将PE作为底,可以过点C或者过点D作出PE边上的高(如图2或图3).易得∠CPE =360° - ∠APB - ∠APE - ∠BPC= 150°.在图2中,∠CFP= 90°,∠CPF= 180° - ∠CPE =30°,则CF=1/2PC=1/2b;在图3中,∠DFE= 90°,易得∠DEF= 180°一∠CPE =30°,则DF= 1/2DE =1/2PC = 1/2b.因此,平行四邊形PCDE的面积可以表示1/2ab.

    当然,也可以将CP作为底,过点D或者过点E作出CP边上的高,易得高为1/2a,平行四边形PCDE的面积可以表示为1/2ab.

    2.3 求1/2ab的最大值

    方法3 1/2ab可以表示RtAAPB的面积,因此此题转化为求AAPB的面积的最大值.

    因为AB =2,若将AB作为底,就要求出AB边上的高的最大值.△APB是直角三角形,容易想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,因此作出AB边上的中线PG(如图4),PG =AG =BG= 1/2AB=1,点P可视为以AB为直径的圆上的一点,显然当PGIAB时,AAPB的AB边上的高取得最大值1.所以△APB的面积的最大值是1/2×2 xl =1.即1/2ab的最大值是1.

    综上,四边形PCDE面积的最大值是1.

    3 解题反思

    3.1 重视基础知识

    解这道题,要熟练掌握正三角形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、基本图形的面积计算方法以及直角三角形的一些特殊性质.没有这些知识的支撑,就无法着手解决问题.

    3.2 重视基本方法

    在表示平行四边形的面积时,遇到了150°的特殊角,从而想到构造含有其补角的特殊的三角形,利用含有30°角的特殊三角形求出平行四边形的高;在求代数式l/2ab的最大值的第二种方法中用到了配方法.这些基本方法的运用也为解决问题奠定了基础.

    3.3 重视转化思想

    转化思想贯穿数学学习的始终,无论在代数问题还是几何问题中,巧妙的转化都会使难以解决的问题

    3.4 重视数形结合

    著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数与形总是密不可分的.此题的解答中,我们先把四边形面积的最值问题转化为代数式的最值问题,在求代数式的最值问题时,又将代数式的值转化为三角形的面积,通过数与形的结合使问题得以解决.

    3.5 重视挖掘本质

    在表示平行四边形PCDE的面积时,可以将PE作为底,也可以将CP作为底,作高时方法也不唯一.但解决问题的基本思路都是借助特殊三角形表示高,然后根据平行四边形的面积公式表示出平行四边形PCDE的面积.

随便看

 

科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。

 

Copyright © 2004-2023 puapp.net All Rights Reserved
更新时间:2025/3/11 22:09:19