| 标题 | 从“函数的奇偶性”说概念变式研究 |
| 范文 | 韩红梅 [摘 ?要] 变学科教学为学科教育的概念变式研究将学生的核心素养发展更好地融入学科核心素养中，教师在实际教学中应充分关注学生在学科知识与能力的发展、思维品质的提升以及知识的运用，积极引导学生对世界展开更为广阔的视角并因此充满生活与学习的热情. [关键词] 函数;奇偶性;概念;变式 生活中无处不在的对称美在函数的奇偶性这一重要内容上也有具体的体现，本文结合实际问题以及笔者的教学实践，从“函数的奇偶性”出发浅要谈谈概念变式研究的一点想法. 问题的提出 问题1：运用数量刻画图像的对称性应怎样操作？ 学生对图像进行观察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推广到一般，f（-x）=x2=f（x）. 学生在新符号的理解上表现得陌生而缓慢，此处强调y=f（x）. 另外f（-x）=f（x）中的x可以为1，2，3等定义域R上的任意数，偶函数定义中的“任意”也因此得到铺垫. 列举具体函数并引导学生对“任意”进行感知. 想一想： （1）f（x）=x2，x∈[-1，1）是否关于y轴对称？ （2）f（x）=x2，x∈[-1，2]是否关于y轴对称？ （3）f（x）=x2，x∈[-2，-1）∪（1，2]是否关于y轴对称？ （4）f（x）=x2，x∈[-a，a]是否关于y轴对称？ （5）f（x）=x2，x∈[a，2a+3]关于y轴对称，a等于多少？ f（x）=x2有解析式，其图像关于y轴对称，可以证明f（-x）=f（x）. 定义域在从特殊到一般的问题串中得到了变化，学生在各种变化中也对集合建立了更加全面的认知. 函数问题应首先考虑定义域这一要点也在数与形的反复变化中得到了强化，学生也因此对定义域的重要性形成深刻的感知. 问题2：若图像关于y轴对称的函数只有图像，没有解析式，则之前的恒等式f（-x）=f（x）是否成立呢？ 借助几何画板并任意取一动点（x0，f（x0）），其关于y轴的对称点（-x0，f（x0））也在函数图像上，因此也能将其表示为（-x0，f（-x0）），此时恒等式仍旧成立. 从特殊到一般并进行概括可得，关于y轴对称的函数即为偶函数. 问题3：如何对偶函数进行定义？ 探究新课 偶函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域是A，若对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数. 定义包含定义域关于原点对称、f（-x）=f（x）这两层意思. 教师反思：从具体函数入手并推广到一般情况的研究是为了导出本课研究的内容，在实际教学中进行这种数学研究思路的渗透能够帮助学生对奇函数展开自主类比研究. 判断：定义在R上的函数f（x），以下说法成立吗？ （1）若函数f（x）为偶函数，则f（-2）=f（2）. （2）若f（-2）=f（2），则函数f（x）为偶函数. （3）若f（-2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数. （4）函数f（x）=x2+1，f（x）=（x+1）2，f（x）=x2+2x均为偶函数. 一组概念辨析的判断题能使学生在画图、定义的反复推敲中获得更多的思考并对定义形成更加深刻而全面的认知，学生在触类旁通的推敲中也能更好地掌握判断的方法[1] . 探一探：模仿偶函数的研究对图像关于原点中心对称的函数的性质进行探索. 引导学生从特殊到一般找寻关于原点对称的反比例函数并从数量的角度进行发现与概括. 问题4：奇函数应如何定义呢？（引导学生模仿偶函数的定义对奇函数进行定义） 奇函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域是A，若对于任意的x∈A，都有f（-x）= -f（x），则称函数y=f（x）为奇函数. 问题5：若函数f（x）为奇函数或偶函数，则称函数f（x）具有奇偶性，则其对称性怎样？ 学生在完善的概念辨析中很快答出：偶函数与奇函数的图像分别关于y轴和原点对称. 此时教师还应对判断函数奇偶性的步骤进行强调：①形的角度. ②数的角度. 定义域关于原点对称并求出f（-x），若f（-x）=f（x），则为偶函数;若f（-x）=-f（x），则为奇函数. 例题探究 例1：判断以下函数的奇偶性： 学生从形的角度对函数的奇偶性进行判断是比较容易的，此例题的设计是引导学生在不会画图的情况下对函数的奇偶性进行判断，也就是引导学生从代数的角度对问题进行研究与判断，教师此时还可以将式子进行适当变化以促进学生对知识的掌握. 变式1：判断函数f（x）=x+ 的奇偶性. 变式2：判断函数f（x）=x2+ 的奇偶性. 变式3：判断函数f（x）= 的奇偶性. 例1中的第（2）问是课本上的，一样不好作图，不过学生此时已经具备了用代数法判断其奇偶性的能力，由此可见，学生在得到概念并突破难点之后是具备研究能力的. 寻一寻：①有既不为奇函数也不为偶函数的函数吗？请举例.②有同为奇函数、偶函数的函数吗？请举例. 学生举例：f（x）=（x-1）2，这是学生在f（x）=（x+1）2上做出的修改.继续修改例题f（x）=x2+ 让学生判断，这是下一个环节“编一编”的铺垫. 学生在寻找既奇且偶函数时脱口而出f（x）=0. 还有少数学生对定义域进行了变换，教师此时还可以抛出以下问题给学生再思考：①判斷函数f（x）= + 的奇偶性;②判断函数f（x）= + （a>0）的奇偶性. 定义域的形态虽然发生了变化，但其本质仍旧是f（x）=0. 学生也因此对这一部分的内容产生莫大的兴趣. 时时设计疑难与障碍并使学生在“绝境”处获得突破往往能使学生更加自信并富有创造力，形不可用但数能行的例题设计令学生的收获与体验更为丰富[2] . 画一画：1.如图：（1）若为偶函数，另一半应如何作出？（2）若为奇函数，另一半应如何作出？ 学生很快联想到画奇函数时将其旋转180°会跟原图一样，显然，学生在简单的作图到复杂图像的研究中已经具备了发现与独立思考的优秀品质. 编一编：大家能根据例题编出不同的题目吗？编出2题并解答或者考考自己的同伴，看一看哪些题更有创意. 在学生尝试编题为难同伴时可以再抛出想一想：任何一个函数均能表示为一个奇函数与一个偶函数的和这一说法成立吗？如何证明？（课后思考） 学生在小结时能很好地抓住数与形这两个方面进行概括. 再思考：学习函数奇偶性的缘由何在？（①可用于陌生函数的研究;②简化函数图像的画法并令问题的研究更加方便.） 学生在学科知识、能力上的发展、思维品质的提升以及知识的运用都是课程评价所包含的内容，固守学科知识掌握、考试成绩提升的行为是对学生核心素养发展与变化的忽视，教师在实际教学中应积极引导学生对世界展开更为广阔的视角并因此充满生活与学习的热情. 参考文献： [1] ?韩龙淑，王新兵. 数学启发式教学的基本特征[J]. 数学教育学报， 2009，18（6）：6-9. [2] ?涂荣豹，王光明，宁连华. 新编数学教学论[M]. 华东师范大学出版社，2006. |
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