| 标题 | 圆锥曲线中的定点问题 |
| 范文 | 李芳芳 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思路是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。 题型一、直线过定点问题 例型1 点A为双曲线C：x2-■=1的右顶点，直线MN不过点A交C于M，N两点，若AM⊥AN；求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标。 解：当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m 设M（x1，y1），N（x2，y2） 则由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0 x1+x2=■，x1x2=■ 由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得 3k2+2km-m2=0 所以k=■或k=-m（舍去） 此时直线MN：过定点P（-3，0） 当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P（-3，0）所以直线MN过定点P（-3，0）； 评注：经典题型，让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论：不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点，若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值，则直线MN过定点。 变式1：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率e=■，左、右焦点分别为F1，F2，点P（2，■），点F2在线段PF1的中垂线上. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标. 题型二、曲线过定点 例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1（a>b>0）相交于A、B两点，且OA⊥OB.（其中O为坐标原点）求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标。 解：由■-■=1y=-x+1 得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0. 由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=■，x1x2=■. ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0. ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0. 由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点（■，■）. 评注：本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a，b的关系式a2+b2-2a2b2=0.，因为椭圆恒过一定点，所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式，可从一般形式中得到这一定点。 变式3：椭圆C：x2+■=1过点S（-■，0）的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以为AB直径的圆恒过点T？若存在，求出点的T坐标；若不存在，则说明理由。 题型三、定点与定值综合 例3.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1，离心率e=■. （1）求椭圆E的方程； （2）过点（1，0）作直线l交E于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使■·■为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）椭圆E的方程为■+y2=1. （2）假设存在符合条件的点M（m，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2）， ■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2. ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）， 由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0 则x1+x2=■，x1x2=■， y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■. 因为对于任意的k值，■·■为定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此时■·■=-■。 综上，符合条件的点M存在，且坐标为[■，0]. 评注：定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式，只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式，如何确定m值使得与直线斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标，再进行具体证明。 （作者单位：浙江省龙泉第一中学） 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思路是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。 题型一、直线过定点问题 例型1 点A为双曲线C：x2-■=1的右顶点，直线MN不过点A交C于M，N两点，若AM⊥AN；求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标。 解：当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m 设M（x1，y1），N（x2，y2） 则由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0 x1+x2=■，x1x2=■ 由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得 3k2+2km-m2=0 所以k=■或k=-m（舍去） 此时直线MN：过定点P（-3，0） 当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P（-3，0）所以直线MN过定点P（-3，0）； 评注：经典题型，让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论：不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点，若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值，则直线MN过定点。 变式1：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率e=■，左、右焦点分别为F1，F2，点P（2，■），点F2在线段PF1的中垂线上. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标. 题型二、曲线过定点 例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1（a>b>0）相交于A、B两点，且OA⊥OB.（其中O为坐标原点）求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标。 解：由■-■=1y=-x+1 得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0. 由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=■，x1x2=■. ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0. ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0. 由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点（■，■）. 评注：本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a，b的关系式a2+b2-2a2b2=0.，因为椭圆恒过一定点，所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式，可从一般形式中得到这一定点。 变式3：椭圆C：x2+■=1过点S（-■，0）的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以为AB直径的圆恒过点T？若存在，求出点的T坐标；若不存在，则说明理由。 题型三、定点与定值综合 例3.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1，离心率e=■. （1）求椭圆E的方程； （2）过点（1，0）作直线l交E于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使■·■为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）椭圆E的方程为■+y2=1. （2）假设存在符合条件的点M（m，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2）， ■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2. ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）， 由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0 则x1+x2=■，x1x2=■， y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■. 因为对于任意的k值，■·■为定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此时■·■=-■。 综上，符合条件的点M存在，且坐标为[■，0]. 评注：定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式，只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式，如何确定m值使得与直线斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标，再进行具体证明。 （作者单位：浙江省龙泉第一中学） 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思路是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。 题型一、直线过定点问题 例型1 点A为双曲线C：x2-■=1的右顶点，直线MN不过点A交C于M，N两点，若AM⊥AN；求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标。 解：当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m 设M（x1，y1），N（x2，y2） 则由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0 x1+x2=■，x1x2=■ 由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得 3k2+2km-m2=0 所以k=■或k=-m（舍去） 此时直线MN：过定点P（-3，0） 当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P（-3，0）所以直线MN过定点P（-3，0）； 评注：经典题型，让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论：不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点，若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值，则直线MN过定点。 变式1：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率e=■，左、右焦点分别为F1，F2，点P（2，■），点F2在线段PF1的中垂线上. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标. 题型二、曲线过定点 例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1（a>b>0）相交于A、B两点，且OA⊥OB.（其中O为坐标原点）求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标。 解：由■-■=1y=-x+1 得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0. 由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=■，x1x2=■. ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0. ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0. 由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点（■，■）. 评注：本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a，b的关系式a2+b2-2a2b2=0.，因为椭圆恒过一定点，所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式，可从一般形式中得到这一定点。 变式3：椭圆C：x2+■=1过点S（-■，0）的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以为AB直径的圆恒过点T？若存在，求出点的T坐标；若不存在，则说明理由。 题型三、定点与定值综合 例3.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1，离心率e=■. （1）求椭圆E的方程； （2）过点（1，0）作直线l交E于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使■·■为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）椭圆E的方程为■+y2=1. （2）假设存在符合条件的点M（m，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2）， ■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2. ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）， 由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0 则x1+x2=■，x1x2=■， y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■. 因为对于任意的k值，■·■为定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此时■·■=-■。 综上，符合条件的点M存在，且坐标为[■，0]. 评注：定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式，只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式，如何确定m值使得与直线斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标，再进行具体证明。 （作者单位：浙江省龙泉第一中学） |
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