| 标题 | 概率方法用于不等式证明中的应用 |
| 范文 | 阿不拉江·吾买尔 【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明，得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁，更直观的观点。 【关键词】概率；数学；不等式证明 在数学的学习过程中，不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的数学运算方法证明，也可以用高等数学的方法来证明，有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明，可以看出，概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法，更为直接、简洁，容易让人明了。 例（1）：求证： 若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的数，则有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd. 证法一：因为 （a+b-ab）（c+d-cd） =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd =ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d） ≥ac+bd-abcd。 由此可证得结论（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd 证法二：通过对不等式的观察，可以看出其中包含概率的一些规律和运算，因此可以构造以下概率事件，假设x，y，z，w是概率分别为a，b，c，d的相互独立的事件，那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出： （x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？劢xz∪yw。 又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））. 又因为x，y，z，w是相互独立的事件，得 P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。 同理可证：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd. 又因为： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。 得出结论： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。 例（2）：求证： 若x∈[0，■]，则■≤1。 证法一：要证■≤1，即证■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx 又因为 1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0 所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1） 即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。 证法二：由方法一中的（1）可以看出，要想证明结论成立，只需要证明： cosx+sinx-sinxcosx≤1。 首选，需要建一个概率模型，假设事件a，b相互间是独立的，并且事件a的发生概率是cosx，事件b的发生概率是sinx，即 P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。 因为a，b事件相互独立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b） 又因为P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1. 即cosx+sinx-sinxcosx≤1 由此可证结论。 例（3）：d为正数a，b，c，d中最大的，求证：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 证明：设A，B，C是三个相互独立的事件， 令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd 显然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1. 根据概率加法公式及事件的独立性： P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2） =a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d） 又因为：0≤P（A+B+C）≤1， 所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1 由此可得出结论：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 从以上例子中可以看出，在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法，通过概率方法的应用，能够使得解体的思路更加的清晰明朗，将抽象的数学问题变得更加具体化，更加立体化，更具有创造性，进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性，因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中，可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中，进而拓宽学生的解题思路，提高他们的解题能力。 【参考文献】 [1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究，2003，6（3）：43-44. [2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京：清华大学出版社，2005. （作者单位：喀什地区体育运动学校） 【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明，得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁，更直观的观点。 【关键词】概率；数学；不等式证明 在数学的学习过程中，不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的数学运算方法证明，也可以用高等数学的方法来证明，有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明，可以看出，概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法，更为直接、简洁，容易让人明了。 例（1）：求证： 若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的数，则有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd. 证法一：因为 （a+b-ab）（c+d-cd） =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd =ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d） ≥ac+bd-abcd。 由此可证得结论（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd 证法二：通过对不等式的观察，可以看出其中包含概率的一些规律和运算，因此可以构造以下概率事件，假设x，y，z，w是概率分别为a，b，c，d的相互独立的事件，那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出： （x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？劢xz∪yw。 又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））. 又因为x，y，z，w是相互独立的事件，得 P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。 同理可证：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd. 又因为： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。 得出结论： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。 例（2）：求证： 若x∈[0，■]，则■≤1。 证法一：要证■≤1，即证■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx 又因为 1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0 所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1） 即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。 证法二：由方法一中的（1）可以看出，要想证明结论成立，只需要证明： cosx+sinx-sinxcosx≤1。 首选，需要建一个概率模型，假设事件a，b相互间是独立的，并且事件a的发生概率是cosx，事件b的发生概率是sinx，即 P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。 因为a，b事件相互独立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b） 又因为P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1. 即cosx+sinx-sinxcosx≤1 由此可证结论。 例（3）：d为正数a，b，c，d中最大的，求证：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 证明：设A，B，C是三个相互独立的事件， 令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd 显然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1. 根据概率加法公式及事件的独立性： P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2） =a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d） 又因为：0≤P（A+B+C）≤1， 所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1 由此可得出结论：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 从以上例子中可以看出，在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法，通过概率方法的应用，能够使得解体的思路更加的清晰明朗，将抽象的数学问题变得更加具体化，更加立体化，更具有创造性，进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性，因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中，可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中，进而拓宽学生的解题思路，提高他们的解题能力。 【参考文献】 [1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究，2003，6（3）：43-44. [2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京：清华大学出版社，2005. （作者单位：喀什地区体育运动学校） 【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明，得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁，更直观的观点。 【关键词】概率；数学；不等式证明 在数学的学习过程中，不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的数学运算方法证明，也可以用高等数学的方法来证明，有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明，可以看出，概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法，更为直接、简洁，容易让人明了。 例（1）：求证： 若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的数，则有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd. 证法一：因为 （a+b-ab）（c+d-cd） =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd =ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d） ≥ac+bd-abcd。 由此可证得结论（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd 证法二：通过对不等式的观察，可以看出其中包含概率的一些规律和运算，因此可以构造以下概率事件，假设x，y，z，w是概率分别为a，b，c，d的相互独立的事件，那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出： （x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？劢xz∪yw。 又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））. 又因为x，y，z，w是相互独立的事件，得 P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。 同理可证：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd. 又因为： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。 得出结论： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。 例（2）：求证： 若x∈[0，■]，则■≤1。 证法一：要证■≤1，即证■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx 又因为 1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0 所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1） 即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。 证法二：由方法一中的（1）可以看出，要想证明结论成立，只需要证明： cosx+sinx-sinxcosx≤1。 首选，需要建一个概率模型，假设事件a，b相互间是独立的，并且事件a的发生概率是cosx，事件b的发生概率是sinx，即 P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。 因为a，b事件相互独立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b） 又因为P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1. 即cosx+sinx-sinxcosx≤1 由此可证结论。 例（3）：d为正数a，b，c，d中最大的，求证：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 证明：设A，B，C是三个相互独立的事件， 令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd 显然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1. 根据概率加法公式及事件的独立性： P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2） =a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d） 又因为：0≤P（A+B+C）≤1， 所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1 由此可得出结论：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a） 从以上例子中可以看出，在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法，通过概率方法的应用，能够使得解体的思路更加的清晰明朗，将抽象的数学问题变得更加具体化，更加立体化，更具有创造性，进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性，因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中，可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中，进而拓宽学生的解题思路，提高他们的解题能力。 【参考文献】 [1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究，2003，6（3）：43-44. [2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京：清华大学出版社，2005. （作者单位：喀什地区体育运动学校） |
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