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浅谈参数方程的解题思维突破

范文

曾勇斌

【摘要】由于参数方程的解题思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，参数方程的解题思维障碍的表现各异，因此，解决参数方程的解题思维障碍对于增强参数方程的解题思维教学的针对性和实效性有极为重要的意义。

【关键词】参数方程;解题;思维突破

参数方程这一章节与高中数学的其他章节知识比较，来得更加的抽象，理解的难度更深，且又是高考核心考点内容，注重培养学生的解题思维显得极为迫切。而解题思维贯穿于学生在对基础知识的感性认识，并且运用转化、分析、综合、归纳、演绎等思维方法，理解并掌握数学知识内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对基础知识和规律的认知、梳理的能力。在教学实践中，如果让学生对参数方程的基本概念、基础知识、基本定理公式进一步地加深理解，并且通过解题→纠错→反思的方法来解决这个问题是很效的。

由于参数方程的解题思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，参数方程的解题思维障碍的表现各异，我们应该积极寻求解题方法突破，具体做法：

一、抵制思维浮于表面，提高解题意识

例如：我在让学生作下面这一道题：

若P（，）为椭圆x=2cosφy=sinφ（φ为参数）上一点，求OP的倾斜角。

（学生对知识认知的肤浅，容易把椭圆上的点的离心角的概念理解错误，将离心角与OP的倾斜角混为同一个角。）

错解：将x=，y=代入椭圆的参数方程得

解得cosφ，sin=?∴OP的倾斜为45o。

正解：设OP的倾斜角为θ ?则

∵点P（，）在第一象限

∴θ=30o 即OP的倾斜角为30o

二、抓住思维基础构筑，提高解题信心

如：

按下列要求将方程+=1化为参数方程

1）设x=3 cosφ，φ为参数;

2）设y=2t，t为参数;

错解：1）把x=3 cosφ代入方程■+■=1

得y2=4（1-cos2φ）-4sin2φ ?即：y=±2sinφ

∴所求的参数方程为x=3cosφy=±2sinφ（φ为参数）

2）把y=2t代入■+■=1得：■+t2=1于是

x2=9（1-t2）得：x=±3■则

所求的参数方程是：

正解：在第一小题中学生没有足够认识到φ的任意性，可取y=2sinφ

∴所求的参数方程为x=3cosφy=2sinφ（φ为参数）

（而第二小题学生没有充分的信心，反而受第1小题的影响，想当然的没有把参数方程分开列解。）

2）应得解题结果为：

和

三、屏弃思维畏难情绪，探索解决问题的方法

如：已知曲线C的参数方程为x=2t2-1 ①y=2t+4 ②（t为参数）判断点M（7，0），N（1，6），P（2，-2）与曲线的位置关系。

（学生在引入参数t的意识形态中无法理解这道题，更不用说着手解题。）

正确解法：由参数方程的概念可知要判断是否在曲线上，只要看点的坐标是否满足参数方程即可，即把M、N、P点坐标参数方程中就能看出M、N在曲线上，P点不在曲线上。即：把M（7，0）代入曲线C的参数方程为x=2t2-1 ①y=2t+4 ②得t=-2

可见M在曲线，同理可得N也在曲线上。而P（2，-2）不能够使得①②获得t的同一解，所以P不在曲线上。

四、促发学生学习兴趣，提高学生学习效率

例：双曲线的参数方程及应用中，求点P（0，1）到双曲线x2-y2=4的最小距离。

若用普通方程求解比较麻烦，且学生也不易理解，从而引导学生将双曲线上任意一点设成参数的形式，转化成三角公式计算：

设计如下：

1）设出参数：设双曲线x2-y2=4上任一点坐标为

2）再求两点间距离转化成三角公式计算：

3）再求

4）再求出题目要求的结果：

所以当tanφ取得时，得到最小值

即：点P（0，1）到双曲线x2-y2=4的最小距离为

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

（作者单位：福建省龙海市浮宫中学）

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