标题 | 一道数学课本题的“再回首” |
范文 | 摘 要:教材中的例题、习题具有一定的典型性和代表性,蕴含着课程的基本理念与教学目的,在教学过程中起着画龙点睛的作用,教师对典型的例题、习题应不失时机的“再回首”,充分挖掘其引领、示范的教学功能. 关键词:课本;习题;再回首 作者简介:李玉荣(1963-),男,江苏句容人,本科,中学高级教师,研究方向:初中数学教学研究. 荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为,“数学教育是一个活动过程,学生应当通过再创造来学習数学,……这样获得的知识与能力才能更好地加以理解,而且能保持长久的记忆”.因此,教师应使学生在学习过程的不同层次中,始终处于积极、创造的状态.解题教学是数学教学的一个重要环节,也是提高学生数学能力的主要途径.笔者以为,在解题教学尤其是中考复习课的解题教学中,教师若能选择恰当的例题进行“再回首”“再创造”,让学生“小题大做”“借题发挥”,往往能激活学生的数学思维,促成典型习题的可持续引领、示范作用. 题目 (人教版数学八年级上册第79页练习3)求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 1 自然解法占主导 复习课上,笔者选用此题作为例题,学生不屑一顾,几乎清一色给出如下证法: 已知:如图1,在△ABC中,点D为AB的中点,CD=12AB. 求证:∠ACB=90°[1]. 证法1 因为CD=12AB=AD=BD, 所以∠DCB=∠B,∠ACD=∠A. 因为∠DCB+∠B+∠ACD+∠A=180°, 所以∠ACD+∠DCB=90°.即∠ACB=90°. 评注 此解法符合学生的认知规律,自然、简洁.在解题教学中,自然解法占主导地位无可厚非,但如果教师的教学就此打住,即出现了教学中的“滑过”现象,那么此题的功效无疑大减!本题的条件之一是“CD为中线”,怎样体验它的作用?值得引领学生进一步探究解法,积累数学活动经验. 2 题阔招多任尔行 一题多解是培养学生发散性思维的一个重要途径,教学中关注例题教学的可持续性,让知识成串、互通有无,让复习课充满新鲜感、富有挑战性,也是培养学生创造性思维能力的有效方法.此题看似简单,其实也蕴涵着丰富多彩的内涵,笔者引领学生作了如下探究. 证法2 如图2,延长CD至点E使得DE=CD,连接AE,BE. 因为AD=BD,所以四边形ACBE为平行四边形. 又因为CE=2CD=AB, 所以四边形ACBE为矩形. 所以∠ACB=90°. 评注 此解法也很简洁,倍长中线构造平行四边形,是解决中线问题的常用方法. 证法3 如图3,分别取AC,BC的中点E,F,连接EF. 所以EF=12AB,DF//AC,DE//BC. 所以四边形DECF为平行四边形. 又因为CD=12AB=EF,所以四边形DECF为矩形. 所以∠ACB=90°. 证法4 如图4,取BC的中点M,连接DM,则DM//AC. 所以∠ACB=∠DMB. 因为CD=12AB=BD, 所以DM⊥BC,即∠DMB=90°. 所以∠ACB=90°. 评注 上述两种解法也很简洁,见中点,取中点构造三角形的中位线是破解中点问题的常用方法. 证法5 如图5,延长BC至点E,使得CE=BC,则CD=12AE. 因为CD=12AB,所以AB=AE. 所以AC⊥BE. 所以∠ACB=90°. 评注 此解法也很简洁,见中点,倍长线段构造三角形的中位线是破解中点问题的另一方法. 证法6 因为CD=12AB=BD=AD, 所以点D是△ABC的外心. 因为AB是△ABC外接圆的直径,所以∠ACB=90°. 评注 妙用外接圆,结论显而易见. 证法7 如图6,过点C作CH⊥AB于点H,设AD =BD= CD=m,DH=x, 则AH=m+x,BH=m-x. 则CH2=m2-x2. 所以BC2=(m-x)2+m2-x2,AC2=(m+x)2+m2-x2. 可得BC2+AC2=(m-x)2+m2-x2+(m+x)2+m2-x2=4m2=AB2. 所以∠ACB=90°. 评注 此解法看似繁琐,其实仅仅用了勾股定理及其逆定理,巧妙计算得证. 证法8 如图7,分别过点A,B作AH⊥CD ,BE⊥CD ,垂足分别为点D,E. 设AD =BD= CD=m,DE=x,则CE=m-x. 易证△BED≌△AHD. 所以BE=AH,DH=DE=x, CH=m+x. 因为CE·CH=(m-x)(m+x)=m2-x2=BE2=BE·AH,所以CEAH=BECH. 故Rt△BCE∽Rt△CAH,可得∠ACH=∠CBE. 因为∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACH+∠BCE=90°,即∠ACB=90°. 评注 此解法略显繁琐,但作两条垂线也是解决中点问题常见的辅助线. 证法9 如图8,作Rt△EFG,使得∠EGF=90°,EF=AB,EG=AC,HG为斜边上的中线. 则HG=12EF=HE. 因为CD=12AB=AD, 所以AD=HE,CD=HG. 所以△ADC≌△EHG. 可得∠A=∠E,进而△ABC≌△EFG. 所以∠ACB=∠EGF=90°. 评注 此解法为构造法,灵感来源于勾股定理逆定理的证明方法,颇有滋味. 解决问题的策略、方法和途径可以是多样性的,《数学课程标准(2011年版)》强调了这种“多样性”,并且希望学生由此发展创新意识.学生独立思考,自己发现和提出问题,是对创新意识的一种培养.因此,教师要合理利用教材内容,因势利导,适时鼓励学生思考和交流,形成自己对问题的理解,对比认识方法不同的优劣,同时体验“解决问题方法的多样性”,这需要教师课前做足“功课”,精心“预设”,课堂上“放手”探究,才能让“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念真正落到实处.无需遨游题海,关注并研究典型例题、习题教学的可持续性就是一个极好的途径. (收稿日期:2019-04-23) |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。