《平面几何在解析几何中应用举例》-教育论文，小学教育论文-论文范文参考-科学狗论文网

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平面几何在解析几何中应用举例

范文

许四军

【摘要】本文结合几道关于解析几何中常见的问题为例，尝试从平面几何的角度去研究解决解析几何问题，旨在简化某些解析几何问题的解答过程，丰富解析几何问题的求解思路。

【关键词】平面几何;解析几何;应用

有人说，初中数学最难的是平面几何，高中数学最难的是排列组合。虽然有一点片面，但是仔细想想会觉得不无道理。还有人认为，初中数学里的平面几何那么难，学生学起来比较痛苦，但在高中平面几何几乎没什么用。表面上看，高中数学在教学内容上确实没有对初中的平面几何作进一步的延伸，但事实上，学好平面几何对学生的逻辑推理能力，图形图像的分析能力等有重大的帮助，而这种能力是学好后续课程的必要条件。

高中数学关于几何的内容主要是立体几何和解析几何两个板块，对于同属于几何范畴的内容，平面几何的思想方法在高中立体几何与解析几何中都扮演着重要作用。尤其是在后者中，有些解析几何问题要么思维上迟迟打不开局面，要么运算量非常庞大且复杂，这时如果跳出来原有思维从平面几何的角度考虑，往往会给人一种柳暗花明的感觉。下面将结合实例来分析平面几何在解析几何的应用，希望能够起到抛砖引玉的作用。

例1：过椭圆C：+=1（a>b>0）的左焦点F且倾斜角为60°的直线l交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则此椭圆的离心率e=_________。

分析：由|FA|=2|FB|可联想到，对应边成比例，进而考虑构造两三角形相似，利用平面几何求解。

解：过A、B两点分别作左准线的垂线，垂足分别为C，D，设直线l交左准线于点E，则由平面几何知识易得，△EBD～△EAC，所以，。令BF=x，根据椭圆第二定义有，BD=，AC=则BD为△EAC中位线，故EA=6x。又直线l倾斜角为60°，由直角三角形中三角函数知，

例2：设F1（-c，0），F2（c，0）分别是椭圆C+=1（a>b>0）的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q，若点Q的坐标为（4，4），求椭圆C的方程。

分析：本题若利用向量或斜率知识均可求出Q（，2a），进而求出椭圆C的方程，难度不大。这里给出平面几何的解法，也是不错的选择。

解：设直线x=与x轴交点为M，因为PF2⊥QF2，则可得两个三角形相似：△PF1F2～△F2MQ，从而MQ=2a，从而有Q（，2a），再由Q的坐标为（4，4）代入即可得椭圆的方程为+=1。

例3：已知过点A（0，1），且斜率为的直线与圆C（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点。

求证：·为定值

分析：本题若利用向量的坐标运算及韦达定理可得·=7，但运算较繁。注意到，AMN是⊙C的一条割线，结合所求问题，可考虑利用平面几何的切割线定理。（注：圆的切割线定理：若PQ为切线，PMN为割线，则：PQ2=PM·PN。）

解：过点A作⊙C的一条切线AT交⊙C于点T，连接AC和CT，由勾股定理得，

AT2=AC2-CT2=（2-0）2+（3-1）2-1=7

又由圆的切割线定理，·AM·AN=AT2=7。

例4：已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）

若l1与C圆相交P，Q于两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值;若不是，请说明理由。

分析：对于本题，大多数同学很容易想到下面的方法一去做：

法一：易知l1的斜率存在，设l1方程为：y=（x-1），

联立y=k（x-1）（x-3）2+（y-4）2=4，结合韦达定理可得，

联立y=k（x-1）x+2y+2=0可得，

故，

若从平面几何的角度重新审题，观察图形，可发现有下面较简洁的法二：

法二：（平面几何）连接CA并延长交l2于点D，注意到kl·kAC=-1，则l2⊥lAC，由平面几何知识易证得：△ACM～△AND

所以，=，又AC=，从而，AM·AN=AC·AD=6。

例5：设圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0交圆C于A，B两点，若P（1，1）点分弦AB为=，求此时直线l的方程。

分析：直线与圆相交问题往往于平面几何的垂径定理或勾股定理有关。

解：（平面几何）容易发现，直线恒过定点P（1，1），且在圆C内。取AB的中点为M，由垂径定理有，AB⊥MC，设PM=x，则在直角△AMC，△PMC中，由勾股定理可得，MC2=（）2-（3x）2=PC2-x2，又PC=1，故x=，

即圆心C到直线l的距离：

所以，m=±1，即得l的方程为y=x或x+y=2。

【分类号】G633.6

（作者单位：江苏常州北郊高级中学）

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