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回归概念，展示过程，提升解题教学效率

范文

朱允洲

【摘要】在解题教学中，应着力挖掘每道例题的教育教学价值。通过引导学生积极参与解题的过程，探究解法的多样性，发现数学概念的重要性，提高他们对知识的灵活运用能力，完善其解题的思维模式与习惯，从而有效地提升解题教学的效率。

【关键词】一题多解;数学概念;主体参与

题目：在等比数列{an}中，设公比为q，前n项的和为Sn，若已知2S5，S10，S20-S10成等比数列，那么S5，S15，S10是否成等差数列？请说明理由。

1.课堂实录片段

师：谁来说说自己的想法？

生1：S10=S5（1+q5），S20-S10=S5（1+q5）q10，因2S5，S10，S20-S10成等比数列，故，化简得q10=（1+q5），所以q=1或q5=-，又S5+S10-2S15=S5（2+q5）-2S5（1+q5+q10）=-S5q5（1+2q5）（*），当q=1时，S5，S15，S10不成等差数列;当q5=-时，S5，S15，S10成等差数列。

师：生1的求解过程主要借助什么？

生2：等比数列定义及前n项和的性质：Sm+n=Sm+Sn·qm。

师：嗯，学以致用，很好！对此题还有不同的解法吗？

生3：直接用求和公式求解，当q=1时，S5+S10-2S15=5a1+10a1-30a1=-15a1≠0，S5，S15，S10不成等差数列;

因2S5，S10，S20-S10成等比数列，故，化简得q10=（1+q5），所以，当q5=-时，由（*）式知S5，S13，S10成等差数列。

师：思路很好！运用等比、等差数列的公式求解，这是通法，大家必须掌握！还有不同意见吗？这两位同学的解法有问题吗？

生4：因2S5，S10，S20-S10成等比数列，由等比数列的定义可知2S5≠0，S10≠0，S20-S10≠0，但当q=-1时，S10=S20-S10=0，条件不成立了。

师：观察得很仔细，说得非常好！生1与生3的最终结果都是正确的，但解题的过程都有瑕疵——忽略了等比数列定义的隐含条件，实际上，q≠-1是本题的隐含条件，在解题过程中对它应进行说明。还有更好的解法吗？

生5：若S5，S15，S10是等差数列，则S5+S10-2S15=（a6+a7+…a10）-2（a6+a7+…a15）=-a6（1+q+…q4）（1+2q5）=0。因此只需要q5=-1/2。由2S5，S10，S20-S10成等比数列知：2S5·q10=S10=S5+S5q5，且q≠-1，所以2q10=1+q5，即当q5=-1/2，S5，S15，S10是等差数列。

师：生5按探索性问题的思路求解，不错！从以上讨论中大家能得到什么结论？

生6：等比数列当q=-1时，其前偶数项的和为零，否则前n项和不可能为零。

师：对！我们在处理等比数列问题时要注意它的隐含条件：每项均不为零，这也是等比数列与等差数列概念的最大区别，因此解题中要时刻注意等比数列的概念。

2.教学随想

数学教育家波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”在解题教学中，我们除了训练学生对解题的思想方法、命题的性质和一些公式、定理的运用外，还应对数学概念加以关注。本节课通过学生对此题探究过程，给予了我们一些启示：首先，教学例题的选取应具有典型性：入口宽，有多种解法，让大多数学生都有思路，注重考查基础知识、方法，有利于提升学生分析问题解决问题的能力。学生对本课例题的解法多样，如生3用公式法是多数学生都会想到的方法，而生1运用性质又具有一定的灵活性，生5则采用逆推法更简单，这些都体现了教学面向大多数学生的理念。其次，教学应紧扣数学知识最根本的东西——概念，李邦河院士曾指出：“数学，在根本上是玩概念的，不是玩技巧。”本题大多数学生用了等差、等比数列的定义解决问题，但又忽略了等比数列定义的隐含条件，这提醒我们平时的教学对数学概念应有足够的认识，不能照本宣科外加几点注意，而应创造适当的学习情境让学生自己去体验数学概念的产生、形成与运用过程，让学生在犯错中重新认识数学概念，这样才能对概念有本质的理解。最后，课堂教学应重在引导学生真正地参与其中，调动学生探究的热情，去亲身经历发现问题、解决问题的过程，从而激发学生学习数学的兴趣与主动性。教师应找准自己的角色，不能“越位”，根据学生的真实学情，在教学中适当地进行引导与点评，让学生在解题过程中经历曲折、获取成功、找到学习数学的信心，真正地落实以人为本的教育理念。

（作者单位：江苏省徐州高等师范学校）

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