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标题 三角经典问题研究两例
范文

    胡诗洁

    【摘 要】三角是中学数学的重要章节,其是一种特殊的函数,正是因为其以角度作为特殊的自变量,使得不少问题的解决获得了简化。本文研究三角学习中的两个经典问题,与大家一起探讨其中的一些思考。

    【关键词】三角;求值;三角函数;值域;思想

    三角是一个非常独特的章节,三角函数是以角度作为自变量的函数.在三角问题的研究中,需要研究一些经典的例题,从经典例题中获取知识整合的运用,掌握三角相关知识的熟练性,进一步体会三角知识运用中涉及的数学思想方法。

    问题1:已知 ,且 ,则 的值为 。

    分析:本题是经典的三角求值问题,需要从多个知识点思考。在学习中比较容易错误的地方是对角度范围的精确化判断,这是作为初学者往往不太注意的,因为在平方关系后产生了增根,往往导致不合范围的角度也进入了所求,因此这是第一个需要注意的;第二个值得关注的是问题求解的方式,初学学生往往都是利用单量的方式进行求解,这与思维尚处在初级阶段有关,随着学习的深入和三角公式理解的更进一步,如何避免去求解单量才是学习的关键所在。

    错解:由 ,两边平方得

    ,所以 ,所以

    。这是一种典型的错解,原因在于并没有认识到

    对问题的影响,而且平方方式产生了增根。这样的问题要正确求解,需要对角度范围进一步合理分析,并且尽量避免同角关系式的使用。

    法1:由 ,得 ,化簡

    得 ,解得 或 因为

    ,所以 ,即

    所以 , 。

    说明:如果实在对同角关系式情有独钟,那就必须认真

    分析角度自身范围对值的影响,关键是 可以

    知道 是钝角,因此可以分析得出负值。这里是学习

    需要注意的,因为对值的取舍成为解决很多三角问题的关键。因此这样的法1随着学习的深入渐渐的被淘汰。

    法2:因为 ,两边平方得

    ,所以 ,所以

    。因 ,所以 ,又因 ,

    所以 ,得 ,即 ,

    ,所以 。

    说明:若对错解进一步分析,不难思考角度对值的影响.这样的问题以后会多次遇到,这也是三角求值问题的典型想法,即尽可能不要利用平方关系,因为这往往导致增根的产生.因此最好的解法是:

    法3:因为 ,两边平方得

    ,所以 ,即 ,得

    , 。

    说明:本法是最好的解决求值问题的方式,因为本法不同于上述两个方法,上述两法都是对于单量的求解,本法是避开了单量,从整体的角度进行了求解,这种利用整体性的想法是后续更多三角求值问题的主要思路,值得积累。

    问题2:求函数y=cos2x+2sinx的值域(x∈[- , ])。

    分析:问题是比较典型的三角函数值域问题。从二倍角公式简单思考,我们就发现应该是换元思想介入,问题的本质是二次函数求值域问题.y=1-2sin x+2sinx=-2(sinx- ) + ,由x∈[- , ],可知- ≤sinx≤1,可以求得函数值域y∈[- , ]。对于大多数学习者来说,我们都可以比较轻松的解决本题,因为仅仅一步的技巧让问题的本质凸显的比较明显,但是更深层次的东西需要进一步思考:即换元思想(整体性的思考)才是与三角有关值域问题的核心。

    变式1:求函数 的值域

    ( )。

    分析:本题首先需要借助三角公式的变形。从代数式上思考,不难发现本题全部是齐次式,既然是齐次式就可以从统一降次的角度思考,原式可以简化为

    ,

    由, 可知 ,所以原函数的值域

    。齐次式的简化是三角值域问题的经典问题,如何将降次和整合联系在一起,是问题解决的关键,这种代数变形的能力是必须掌握的、必须具备的。

    本文分析了两个三角经典问题,第一个问题是从求值的角度入手,指出了学习需要注重角度范围思考,更重要的是如何学习避免单量的求解;第二个问题是注重对于代数式次数的研究,从而获得函数的本质,换元思想成为重要的问题解决思想,后续更多的问题恳请读者指正。

    【参考文献】

    [1]郑毓信,梁贯成.认知问题建构与数学思想[M].上海:上海教育出版社,2002

    [2]方小芹,林德宽.数学问题解决过程中的知识类型分析[J].数学通讯,2013.4

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更新时间:2025/3/15 19:58:49