标题 | 利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究 |
范文 | 余小飞 【摘 要】在深入分析零点定理的基础上,研究零点定理应用的特殊情况,并给出了定理在方程根的存在性证明中的应用实例。 【关键词】零点定理;根的存在性;辅助函数 1.引言 零点定理是微积分学的一个重要定理,它的一个重要应用是研究函数零点的存在性问题,同时也可以用来研究方程在区间内实根的存在性问题。本文将利用零点定理给出解决实际问题的几个应用实例。 2.定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0。令 E={x|f(x)<0,x∈[a,b]} 由f(a)<0知E≠ ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,存在ξ=supE[a,b],下面证明f(ξ)=0。 零点定理的条件有三部分组成:一是闭区间[a,b],二是连续函数f(x),三是两个端点的函数值异号。证明的根的存在性的命题常常只给出上述三个条件的部分条件,另一些条件需要证明。 3.几个应用实例 (1)给出闭区间[a,b]上的连续函数f(x),证明f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。 (3)构造辅助函数,对辅助函数使用零点定理 先从待证的结果出发,将待证的结果转化为右端为零的等式,构造辅助函数F(x),然后验证F(x)在[a,b]上满足零点定理的条件。 例3:设f(x)在闭区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),则在[0,a]上至少存在一点x,使f(x)=f(x+a)。 证明:将f(x)=f(x+a)化为f(x)-f(x+a)=0,将x改为x,得到f(x)-f(x+a)=0。则F(x)在[0,b]在上连续, 且F(0)=f(0)-f(a) F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)=-[f(0)-f(a)] (1)若f(0)=f(a),则F(0)=F(a)=0,于是存在x∈(0,a), 使f(x)=f(x+a)成立。 4.结束语 零点定理和介值定理是闭区间上连续函数的两个重要性质,常用于证明方程式根的存在性,通过上面的例子,我们不难发现,利用零点定理研究根的存在性问题有很多种方法。只要我们能够掌握并灵活运用自己的知识,就能从更多的角度求解问题。 【参考文献】 [1]余荣.零点定理的应用[J].武汉工程大学学报,2010(11):108-110 [2]高新慧,李杰.連续函数零点问题[J].漯河职业技术学院学报,2008.9(5):116-117 [3]何艳玲,戴立辉.任意区间上连续函数的零点定理[J].宜春学院学报(自然科学),2006.4(2):39-40 |
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