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高考数学全国I卷第18题立体几何备考指南

范文

马东字

一，直线与平面的位置关系

1.直线与平面平行的判定及性质。

例1 如图1，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC= ∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，PA=2.AB =1。设M，N分别为PD，AD的中点。求证：平面CMN//平面PAB。

考点定位：以四棱锥为载体，考查空间中两平面的平行关系。

证明：（1）因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥PA。

又MN旺平面PAB，PA[平面PAB，

考点定位：考查空间中直线与平面的平行关系，利用线面平行的判定定理直接找到线面平行的条件。

解析：（1）如图3，取PB的中点G，连接AG，NG，因为N为PC的中点，所以NG∥BC，且NG=1/2BC。

又AM=2，BC=4，且AD//BC，所以AM//BC，且AM=1/2BC，则NG∥AM，且NG=AM，所以四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG。

考点定位：考查空间中直线与直线的垂直关系，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直的结论;虽然是考查线线垂直，但实质上需要证明出线面垂直。

例7 如图13，四边形ABCD为菱形，∠ABC= 120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥_EC。证明：平面AEC⊥平面AFC。

考点定位：考查空间中平面与平面的垂直关系，先利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，从而得到面面垂直。

考点定位：利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标。本题考查平面法向量，及根据向量数量积求夹角。

解析：（1）因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE，如图18，建立空间直角坐标系A-xyz，则A （0，0，0），B （1，0，O），C（2，1，O），P（O，O，

2），F（O，1，1），BC=（1，1，O）。

3.二面角。

例10 在如图19所示的空间几何体中，平面ACD__平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。

（l）求证：DE∥平面ABC;

（2）求二面角E-BC-A的余弦值。

解析：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则 BO⊥AC，DO⊥AC。

又因为平面ACD⊥平面ABC，所以DO上平面ABC。作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上。

例12 如图23，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB =4，BE=1。

（l）证明：平面ADE⊥平面ACD;

（2）当三棱锥C-ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离。

解析：（l）因为AB是直径，所以BC⊥AC。又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，所以CD⊥BC。

因为CD ∩ AC=C，所以BC⊥平面ACD，所以DE上平面ACD。又DE（平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD。

三，折叠问题

折叠问题是立体几何的一类典型问题，也是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解決问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及多面体的表面积问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。

例13 如图24（1），在矩形ABCD中，已知AB =2，AD一2√2，M，N分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平所成二面角为60°，如图24（2）。

（1）求证：BO⊥DO;

（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值。

解析：（1）翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD=60°。

连接AD，由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=√2。

在Rt△BAD中，AB =2，AD=√2，所以BD=√6。由题可知BO=OD=√3，由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO。

（2）如图25，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC。又BD=√6，BC=√2，CD=2，所以DC⊥BC，则 EF⊥CD。

又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD。又BO=OD，所以OE⊥BD。

又BD ∩ CD=D，所以OE⊥平面ABCD。又OE（平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD。

过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为

四，探究性问题

探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查同学们的空间想象能力，又能考查同学们的意志力及探究能力。近几年高考中的立体几何试题出现了一些具有探索性、开放性的试题。内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等知识，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。

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