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标题 高考数学全国I卷第18题立体几何备考指南
范文

    马东字

    

    

    

    一,直线与平面的位置关系

    1.直线与平面平行的判定及性质。

    例1 如图1,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC= ∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA ⊥平面ABCD,PA=2.AB =1。设M,N分别为PD,AD的中点。求证:平面CMN//平面PAB。

    考点定位:以四棱锥为载体,考查空间中两平面的平行关系。

    证明:(1)因为M,N分别为PD,AD的中点,所以MN∥PA。

    又MN旺平面PAB,PA[平面PAB,

    考点定位:考查空间中直线与平面的平行关系,利用线面平行的判定定理直接找到线面平行的条件。

    解析:(1)如图3,取PB的中点G,连接AG,NG,因为N为PC的中点,所以NG∥BC,且NG=1/2BC。

    又AM=2,BC=4,且AD//BC,所以AM//BC,且AM=1/2BC,则NG∥AM,且NG=AM,所以四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG。

    考点定位:考查空间中直线与直线的垂直关系,利用线面垂直的性质定理得到线线垂直的结论;虽然是考查线线垂直,但实质上需要证明出线面垂直。

    例7 如图13,四边形ABCD为菱形,∠ABC= 120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥_EC。证明:平面AEC⊥平面AFC。

    考点定位:考查空间中平面与平面的垂直关系,先利用线面垂直的判定定理得到线面垂直,从而得到面面垂直。

    考点定位:利用空间向量解决线面角,一般先建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标。本题考查平面法向量,及根据向量数量积求夹角。

    解析:(1)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE,如图18,建立空间直角坐标系A-xyz,则A (0,0,0) ,B (1,0,O),C(2,1,O),P(O,O,

    2),F(O,1,1),BC=(1,1,O)。

    3.二面角。

    例10 在如图19所示的空间几何体中,平面ACD__平面ABC,△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。

    (l)求证:DE∥平面ABC;

    (2)求二面角E-BC-A的余弦值。

    解析:(1)由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,取AC的中点O,连接BO,DO,则 BO⊥AC,DO⊥AC。

    又因为平面ACD⊥平面ABC,所以DO上平面ABC。作EF⊥平面ABC,那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上。

    例12 如图23,AB是圆O的直径,点C在圆O上,矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面,AB =4,BE=1。

    (l)证明:平面ADE⊥平面ACD;

    (2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离。

    解析:(l)因为AB是直径,所以BC⊥AC。又四边形DCBE为矩形,CD⊥DE,BC∥DE,所以CD⊥BC。

    因为CD ∩ AC=C,所以BC⊥平面ACD,所以DE上平面ACD。又DE(平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD。

    三,折叠问题

    折叠问题是立体几何的一类典型问题,也是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前后哪些发生了变化,哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解決问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及多面体的表面积问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试。

    例13 如图24(1),在矩形ABCD中,已知AB =2,AD一2√2,M,N分别为AD和BC的中点,对角线BD与MN交于O点,沿MN把矩形ABNM折起,使两个半平所成二面角为60°,如图24(2)。

    (1)求证:BO⊥DO;

    (2)求AO与平面BOD所成角的正弦值。

    解析:(1)翻折前,由于M,N是矩形ABCD的边AD和BC的中点,所以AM⊥MN,DM⊥MN,折叠后垂直关系不变,所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角,所以∠AMD=60°。

    连接AD,由AM=DM,可知△MAD是正三角形,所以AD=√2。

    在Rt△BAD中,AB =2,AD=√2,所以BD=√6。由题可知BO=OD=√3,由勾股定理可知△BOD是直角三角形,所以BO⊥DO。

    (2)如图25,设E,F分别是BD,CD的中点,连接EF,OE,OF,BC。又BD=√6,BC=√2,CD=2,所以DC⊥BC,则 EF⊥CD。

    又OF⊥CD,所以CD⊥平面OEF,OE⊥CD。又BO=OD,所以OE⊥BD。

    又BD ∩ CD=D,所以OE⊥平面ABCD。又OE(平面BOD,所以平面BOD⊥平面ABCD。

    过A作AH⊥BD,由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD,连接OH,则OH是AO在平面BOD的投影,所以∠AOH为

    四,探究性问题

    探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,立体几何中的探究性问题既能够考查同学们的空间想象能力,又能考查同学们的意志力及探究能力。近几年高考中的立体几何试题出现了一些具有探索性、开放性的试题。内容涉及异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角,平行与垂直等知识,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。一般此类立体几何问题描述的是动态的过程,结果具有不唯一性或者隐藏性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此,对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。

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更新时间:2025/3/14 18:16:07