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高考数学全国I卷第20题概率与统计备考指南

范文

陈海营

题型一：离散型随机变量的期望

主要是通过互斥事件、相互独立事件、二项分布、超几何分布来考查离散型随机变量的分布列、期望的求法及应用。

例1 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图1所示，将日销售量落人各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立。

（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率;

（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期望与方差。

例2 2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会。黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显。贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一。据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为1/4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为1/3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为1/2。

（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率。

（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列。

（3）杨老汉对三位幫扶人员非常满意，他对别人说：“他家平均每天至少有1人走访”。

例3 2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司。若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司。向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中：

（1）求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率;

（2）用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ=IX-Yl，求ξ的分布列。

例4 2017年8月8日晚，我国四川九寨沟发生了7.O级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分。现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如表4，对应的频率分布直方图如图2所示。

（l）求a，b，c的值。

（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）。

（3）设函数，f（ξ）=E（ξ）/D（ξ）（其中D（ξ）表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数。当f （ξ）≥2.5时，认定教育方案是有效的;否则，认定教育方案应需调整。试以此函数为参考依据，在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案。

例5 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是1/2和2/3，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响。

（1）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率;

（2）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标。达标或能断定不达标，则终止投篮。记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）。

例6计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年人流量X（年人流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年人流量相互独立。

（1）求在未来4年中，至多1年的年人流量超过120的概率。

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年人流量X的限制，并有表7中的关系：

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元;若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元），由于水库年人流量总大于40，所以至少安装1台。

①安装1台发电机的情形：由于水库年人流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5 000，E（Y）=5 000×l=5 000。

②安装2台发电机的情形：当40

当X≥80时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2 = 10 000，因此P（Y= 10 000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8。

所以Y的分布列如表8：

所以E（Y） =4 200×0.2+10 000×0.8=8 840。

③安装3台发电机的情形：

当40

当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2- 800=9 200，因此P（Y=9 200）=P（80≤X≤120）=P2=0.7.

当X>120时，3台发电机运行，此时y一5 000×3=15 000，因此P（Y= 15 000）一P（X>120）=P3=0.1。

所以Y的分布列为表9：

故E（Y） =3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0. 1=8 620。

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机。

例7 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg的包裹收费10元;重量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每超出1 kg（不足1 kg，按1 kg计算）需再收5元。该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表10：

公司对近60天每天揽件数量统计如表ll：

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率。

（l）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101-400之间的概率。

（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值。

②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用。目前，前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元。公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，判断裁员是否对提高公司利润更有利。

②根据题意及①知，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×1/3=5（元），将题目中的天数转化为频率，得表13：

若不裁员，則每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如表14：

故公司平均每日利润的期望值为260×5-3×100=1 000（元）。

若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如表15：

故公司平均每日利润的期望值为235×5-2×100=975（元）。

因975<1 000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利。

题型二：回归分析与概率、统计的交汇问题

主要考查统计图表的数据分析、线性回归方程的求解与应用。

例8 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如表16：

（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系。试根据表16，求B项指标数据y关于A项指标数据z的线性回归方程y=bx十a。

（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有1只的B项指标数据高于3的概率。

例9 某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x（单位：元）与渴望观影人数y（单位：万人）的结果，如表17：

（1）若y与z具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关;

（2）请根据表17提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;

（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入。

例10 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生。某市场研究人员为了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图（图3）。

（1）由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y（%）与月份代码x之间的关系。求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率。

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车。现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同。考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见表18。

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元。不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率。如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？当x=7时，y=2×7+9=23，故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%。

（2）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0. 35、0.35和0.1，所以每辆A款车可产生的利润期望值为E（ξ1）=（500-1 000）×0.2+（1 000- 1000）×0.35+（1 500-1 000）×0. 35+（2 000-1 000）×0.1=175（元）。

频率估计概率，每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，所以每辆B款车可产生的利润期望值为E （ξ2）=（500 -1 200）×0.l+（1 000-1 200）×0.3+（1 500 -1 200）×0. 4+（2 000 -1 200）×0.2=150（元），因为E（ξ1）>E（ξ2），所以应该采购A款单车。

题型三：独立性检验与概率、统计的交汇问题

主要考查抽样方法、随机事件、古典概型、频率分布直方图或茎叶图的应用，以及K 2的计算与应用。

例11 某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名。为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），1 60， 70），[70， 80），[80， 90），[90， 100]，分别加以统计，得到如图4所示的频率分布直方图。

（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）;

（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;

（3）规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表（表19），并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”。

例12 当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示，如图5（记60分为及格）：

（l）根据茎叶图中数据完成表22所示的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？

（2）从50人中，选取一名很少使用手机

例13为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验。为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表26，记成绩不低于70分者为“成绩优良”。

（1）由以上统计数据填写表27所示的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核。在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望。

解析：（1）由统计数据得2×2列联表，如表29所示：

题型四：正态分布

主要通过正态分布、二项分布的概念和性质，概率的计算及数学期望的求法来考查综合应用能力。

例14从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如图6所示的频率分布直方图。

（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品;当Z< 95时，产品为次品。公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元。记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似為样本平均数x，σ2近似为样本方差52（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。

①求P （87. 8

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）内的产品件数，利用①的结果，求E（X）。

例15在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表32所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z-N（μ，198），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（38. 2

（2）在（l）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率如表33表示：

题型五：概率与用样本估计总体的交汇问题

主要考查随机事件的概率、古典概型、频率分布直方图、茎叶图等的应用。

例16某研究性学习小组在某公路服务区内，从小型汽车中按进服务区顺序的先后，每隔5辆就抽取1辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行车速调查，将车速（单位：krn/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]。统计后得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）研究性学习小组用到的抽样方法是____;

（2）若从车速在[80，90）内的车辆中任意抽取3辆，求车速在[80，85）和[85，90）内的车辆均被抽取的概率;

（3）若从车速在[70，80）内的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75，80）内的车辆数的数学期望。

解析：（l）系统抽样。

（2）车速在[80，90）内的车辆共有（o.2+0.3）×40=20（辆），车速在[80，85），[85，90）内的车辆分别有8辆和12辆。

例17为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高制成如图8所示的茎叶图（单位：cm），若身高在175 cm以上（包括175 cm）定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”。

（l）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率;

（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3人，用X表示所选3人中“高个子”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。

例18某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元。根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图9所示。该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒：100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润。

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数;

（2）将y表示为x的函数;

（3）根据直方图估计利润不少于4 800元的概率。

解析：（l）由频率分布直方图及其纵横轴的意义，可知需求量在[100，120）内的频率为0.005 0×20=0.10;在[120，140）内的频率为0. 010 0×20=0.20，在[140，160）内的频率为0. 015 0×20=o.30;在[160，180）内的频率为0. 012 5×20=0.25;在[180，200）内的频率为0.007 5×20=0.15。因此这个开学季需求量z的众数为150;这个开学季需求量z的平均数为110×0. 10+130×0.20+150×0.30+170×0. 25+190×0.15=153。

（2）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，所以100≤x≤160时，y=50x - （160-x） ·- 30= 80x-4 800;当160

（3）因为利润不少于4 800元，所以80x -4 800≥4 800，解得x≥120，所以由（1）知利潤不少于4 800元的概率P=1-O. 1=0.9。

例19交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系。发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表37：

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了表38所示的表格：

（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率。

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车。假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元。且各种投保类型的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有1辆为事故车的概率;

②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求1辆车盈利的平均值。

解析：（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为155/60=1/3。

（2）①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b1，b2.4辆非事故车，设为a1，a2，a3，a4。从6辆车中随机挑选2辆车的情况有（bl，b 2），（b1，a1），（b1，a 2），（bl，a 3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b 2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共15种。其中2辆车恰好有1辆为事故车的情况有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），共8种。

所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有1辆事故车的概率为8/15。

②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1/120[（一5 000）×40+10 000×80]=5 000（元）。

（责任编辑王福华）

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