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数学解决问题过程中须培养的四种关键能力

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朱贵玺

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出，要使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”（简称“四基”），“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”（简称“四能”）。目前，“四基”已经被广大一线数学教师所熟知，教学中也能努力体现课程标准的理念。但根据这几年的课堂观察，笔者发现仍有相当一部分教师对“四能”存在认识上的模糊、缺位，甚至偏差。例如教学目标只停留于解题本身，忽视在解题过程中对学生解决问题能力的全方位提高;不重视引导学生经历解决问题的全过程;不重视培养学生对解题过程进行反思和评价的习惯;只重结果不重过程，只重列式不重分析;等等。因此，结合自己的教学实践和反思，笔者认为在小学教学中培养学生“四能”，要强调对解决问题全过程的经历，重点培养学生洞察力、想象力、理解力及创新力，以克服以上教学中存在的问题，全面提高学生的解决問题能力，落实数学课程目标。

一、在阅读和理解中，逐步发展学生的洞察力

数学洞察力指学生通过呈现的数学现象或者情境，判断其中蕴含的数学本质、结构关系的能力。它是学生用数学的眼光观察、分析问题的开始。

1.读懂主题图，培养直观洞察力

小学低年级教材中呈现的学习材料很多是主题图。这种直观的数学情境，一方面刺激学生已有的知识经验，让学生在观察中发现图中蕴含的数学信息;另一方面，让学生根据要解决的问题选择有用的数学信息，并且初步分析已知条件和问题之间存在怎样的数学关系，为下一步尝试解决数学问题奠定基础。在这个思维活动中，关键是学生的读图能力，学生不仅须要分析、判断读到的数学信息，而且要准确地发现这些数学信息之间存在的逻辑关系，这一过程是学生尝试解决数学问题的开始，更是学生直观洞察力的一种体现。如苏教版《数学》一年级下册“两位数加一位数（进位）”教学中，呈现情境图（图1）后，先组织学生读图，交流其中的数学信息，接着，让学生提出问题“小亮和小红一共有多少张画片？小亮和小明呢？”最后让学生自己尝试列式，借助学具动手操作探索算法，明确算理。这个过程让一年级的学生经历了加法意义的系统建构，初步培养了直观洞察力。

2.理解题意，培养符号洞察力

小学数学中高年级教材中，概念、数量关系、公式、方程等符号化的呈现越来越多。在实际教学中，我们须要引导学生明晰数学符号的意义，掌握数学符号之间存在的数学关系，找到新旧知识之间的联系，激活已有的知识经验，探索解决新问题的路径。这一过程中，需要学生准确理解题意，快速发现数学符号之间存在的结构关系，判断解决问题的思路和方法。如苏教版《数学》六年级上册“表面涂色的正方体”一课，抛出一个每条棱被平均分成2份的表面涂色正方体，引导学生探索能切成多少个同样大小的正方体，每个正方体有几面涂色，学生很快就发现了规律。接着出示每条棱被平均分成3份、4份、5份的表面涂色正方体让学生尝试。在汇报交流中，发现正方体棱被平均分的份数与几面涂色的正方体个数之间存在的数学关系。最后尝试用字母来概括这一规律，进一步培养学生的符号意识和洞察力。

二、在观察和操作中，重点激活学生的想象力

数学想象力是学生在已有数学表象的基础上创造数学新表象的能力，是学生激活数学思维经验、尝试解决问题的开始。

1.留足观察空间，积累丰富数学表象

用数学眼光观察是学生进行数学想象的基础。那么，在日常教学中，教师该怎样培养学生的观察能力？一方面注重让学生体会“观察什么”，引导学生根据学习材料提供的诸多信息区分有用信息和多余信息，在观察目标上准确定位;另一方面，应该注重让学生体会“如何观察”，引导学生根据二维、三维空间顺序有序观察，多角度、多层次积累数学表象，为开展数学想象奠定基础。如苏教版《数学》二年级“认识角”教学中，先让学生感受生活中的“角”，然后让学生观察身边哪些物体表面上有“角”，接着利用三角板上的角描出数学中的“角”，随后指出角的各部分名称，让学生判断哪些是角，哪些不是角，最后通过活动角游戏让学生体会角有大有小。在这一过程中，不仅通过数学观察让学生认识生活中的角和数学中的角之间的区别和联系，而且让学生通过多轮观察、辨别、判断、比较，初步认识数学中角的特征，为学生以后的数学学习打下良好的基础。

2.经历动手操作，还原数学本质特征

学生在数学观察的基础上，产生认知冲突，提出解决问题的初步设想。通过动手操作，一方面可以使学生经历知识形成的过程，手脑并用，具身学习;另一方面，可以引发思维冲突，促进学生迅速对图形或者问题作出合理的猜测、设想，为下面解决问题奠定坚实的基础。如苏教版《数学》四年级下册“认识三角形”一课中，学生在认识三角形特征以后，利用教师提供的材料动手画一个三角形或者搭一个三角形。在学生动手的过程中，教师及时拍照，呈现一些学生的操作成果，让学生辨别、判断是否是三角形，让学生深入理解“首尾相连”“围成”等三角形本质特征的具体含义，发展学生的空间想象力。

3.巧用数形结合，发展数学想象能力

数形结合主要通过具体的图形来表示一些抽象的数学信息，它是一种数学思想，更是解决问题的一种有效策略。小学阶段有很多问题需要我们借助直观图形，降低问题的抽象程度，帮助学生理清思路，发展学生数学直观想象力。如苏教版《数学》四年级下册“三角形的内角和”一课。先让学生自己画一个三角形，标上∠1、∠2、∠3，然后让学生把这个三角形剪下来，通过动手操作把三角形的三个内角拼成了一个平角，让学生直观感受三角形的三个内角和是180°。这里的动手操作不仅呈现了学生的解题思路，而且让学生的思维可视化。

三、在整合和关联中，多元促进学生的理解力

数学理解力指学生运用已有的知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的一种能力，它是学生解决问题的核心能力。小学阶段数学理解力的发展主要是使学生能够主动参与到解决问题的过程中来，引导学生通过整合解题路径和关联知识结构，促使学生的数学理解从单一走向多元、从零散走向系统，发展学生的逻辑思维，提高学生的学习能力。

1.在整合解题路径中发展学生的多元数学理解力

在小学阶段解决问题的教学中，学生一般只是发现一个解决问题的思路。而从数学理解发展的角度出发，需要学生发现多个解决问题的思路，并把这些思路通过一定方式整合起来，理解抽象知识，自主建构知识，发展学生的多元数学理解力。

（1）从操作到抽象，让学生在思辨中理解知识。小学阶段数学问题的解决中需要学生在“是什么”和“为什么”之间建立起恰当的数学理解，才有可能将其纳入自己的认知结构中，达到举一反三的教学效果。例如在“能被2、5、3整除的数的特征”一课中，通过百数图让学生类比能被2、5整除的数的特征，再在猜想中验证能被3整除的数的特征，让学生自己破除“看个位”的定式，最后在观察比较中发现规律：十位数字和个位数字的和能被3整除，这个数就能被3整除。整个设计充分利用百数图，找出能被2整除的数的特征是实物操作的结果，类比出能被5整除的数的特征是表象操作的结果，而能被3整除的数的特征的发现不仅包含实物操作、表象操作，还包括符号操作。这三种操作方法让学生通过观察类比、操作认定、想象验证三种路径相结合发现整除的意义，加深了对知识的理解程度，达到事半功倍的教学效果。

（2）从直观到建构，让学生在建模中把握问题。小学阶段数学问题的解决中需要学生在直观考察一类对象的属性之后，说出问题的本质属性，再比较这一类对象的共同特征，从直观和抽象两个路径提取问题的本质属性，进行数学化的归纳提炼，概括出具有一般意义的规律，以解决其他数学问题。例如苏教版《数学》四年级下册“加法运算律”一课中，让学生模仿“23+17=17+23”，写几组这样的等式，观察、类比，找出等式的共同属性“加数位置变了，和不變”进一步符号化：如果用字母a、b表示两个加数，该怎样表示？建构了加法交换律的数学模型“a+b=b+a”，最后让学生把加法交换律应用到问题解决中。这一过程中，让学生主动对数学材料进行观察、比较、分析和抽象，借助直观进行建模，尝试应用模型解决问题，进一步提升了学生的数学理解力。

2.在关联知识结构中发展学生的关键数学理解力

在小学数学解决学问题的过程中，可以借助一些关联帮助学生整合解决问题的思路，挖掘问题的本质，找到解决问题的关键点，引导学生从知识层向理解层深入，进一步发展学生的理解水平。如苏教版《数学》四年级下册“多边形内角和”一课，教师让学生探索多边形的内角和与边数的关系时，就可以有意识地让学生交流自己的解法，并且说明理由，比较每种方法之间的关联点，明确解决问题的关键——把多边形的内角和转化成求若干个三角形的内角和，且从一个顶点来分三角形是最简捷的。在这个过程中，学生的认知结构在关联中得到了丰富，在交流中实现了飞跃，准确把握住解决问题的核心，培养学生关键数学理解能力，积累了丰富的数学活动经验。

四、在展示和表达中，不断发展学生的创新力

小学生发现和提出问题的能力普遍较弱，这跟我们日常教学中不给学生展示和表达的空间有很大的关系。所以，在解决问题教学中我们应该让学生用自己的方式展示、表达思维，解决问题的路径随着层次清晰、逻辑严谨的展示和表达逐渐清晰，从而促使学生对知识进行抽象的概括，深化问题的理解，培养学生主动思考的习惯，提高学生发现和提出问题的能力，进一步发展学生的创新力。

1.在展示思维中发展创新力

在小学阶段数学解决问题的过程中，我们要给学生充分展示自己思维过程的机会，特别是一些核心问题的解决更需要学生在充分研究探索的基础上，准确把握问题的实质，独立展示个性的思维过程，打破原有的数学知识结构，更新自己的知识体系。如苏教版《数学》五年级下册“因数和倍数”复习课中，教师抛出新问题：6的倍数有哪些？学生根据已有的知识经验（知道2、3的倍数），提出大胆猜想：将2和3的倍数特征综合成6的倍数特征，直接进行判断。为了证明自己的猜测，很多学生通过列举的策略，从既是2的倍数又是3的倍数的数字中找到6的倍数，从而证明6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。这既深化了数学知识，拓展了学生的逻辑思维，也拓展了本单元的教学内容，让学生体味数学的趣味性。

2.在表达思维中发展创新力

语言是思维的外衣。我们在小学数学解决问题的教学中要充分给予学生表达的机会和平台，让学生通过语言、图式、操作等方式表达自己的思维过程，交流、梳理、总结、提炼核心解题策略，更好地使用、优化解题策略，让学生体验成功的喜悦，不断积累创新的原动力。例如苏教版《数学》三年级下册“认识分数”复习课中，教师让学生寻找七巧板中的几分之一，学生通过实物操作、动手画一画等方式解答。学生在交流、表达思维的过程中重点表述“谁是谁的几分之一”，紧扣问题的核心，深入理解分数的意义。这个问题的解决主要帮助学生在表达思维的基础上进行一个全面的思考，培养学生的问题意识和创新意识。

参考文献

[1] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之七——推理能力[J].小学数学教师，2015（11）.

[2] 丁国忠.构建完备“数学应用”体系，落实多维数学课程目标[J].课程·教材·教法，2016（02）.

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