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标题 分类讨论思想在热学解题中的应用
范文

    陈宏 曹少平

    

    

    

    分类讨论是指在原问题包含多种情形,不能一概而论的情况下,将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形,并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去,再进一步讨论每一种情形的特性,最后综合这些子问题的解答,得到对整个原问题的解答。分类讨论思想实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在解题中的具体体现。下面结合实例谈谈分类讨论思想在热学解题中的应用。

    一,活塞或汽缸分“动”和“不动”两种情况讨论

    例1,如图1所示,长为2L的圆筒状汽缸可沿动摩擦因数为μ的水平地面滑动,在汽缸中央有一个横截面积为S的活塞(汽缸与活塞之间的摩擦不计),汽缸中封闭的理想气体温度为T0,压强等于外界大气压强P0。汽缸和活塞的总质量为m,在固定墙壁与活塞之间连有一劲度系数为k的轻弹簧(处于自然长度状态),现对气体缓慢加热(设汽缸与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力),求当气体体积变为原来的两倍时的温度。

    解析:本题是气体性质和力学综合题,仔细分析可以发现,汽缸与地面间的动摩擦因数大小不同,会出现不同的结果。在气体受热膨胀的过程中汽缸始终静止不动是一种结果,在气体受热膨胀的过程中汽缸发生移动将是另一种结果。下面分两种情况讨论。

    (2)在μmg

    点评:本题中给出的已知条件不明确,即汽缸是否发生移动不明确,要求考生先补充必要的条件,再针对补充的不同条件进行求解,且不同的补充条件会产生不同的计算结果,对应不同的物理情景。求解本题的关键是要注意分析汽缸的运动过程,当温度缓慢升高时,气体的压强逐渐增大,弹簧被压缩,弹力逐渐增大,当弹簧的弹力与汽缸受到地面的最大静摩擦力相等时,汽缸开始向左移动,气体的压强不变。

    二,细线分“松弛”和“张紧”两种情况讨论

    例2 如图2所示,在大气中有一水平放置的固定圆筒,它由a、b和c三个粗细不同的部分连接而成的,各部分的横截面积分别为2S、1/2s和s。已知大气压强为p0,温度为T0。两活塞A和B用一根长为4l的不可伸长的轻线相连,把温度为T0的空气密封在两活塞之间,此时两活塞的位置如图所示。现对被密封气体加热,使其温度缓慢上升到T0若活塞与圆筒壁之间的摩擦可忽略不计,则此时两活塞之间气体的压强可能为多少?

    点评:本题中对被密封气体加热使其温度缓慢上升到T,轻线是“松弛”还是“张紧”是不确定的,因此要分两种情况讨论。

    三,水银分“溢出”和“不溢出”两种情况讨论

    例3 如图3所示,有一个直立的汽缸,汽缸底到汽缸口的距离为L0 cm,用一厚度和质量不计的活塞封闭一定质量的理想气体,平衡时活塞上表面与汽缸口的距离很小(计算时可忽略不计),周围大气的压强为Ho cmHg。现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上(瓶子的质量可忽略),平衡时活塞到汽缸底的距离为L cm。若不是把这瓶水银放在活塞上,而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方,这时活塞向下移,压缩气体,直到活塞不再下移。求此时活塞在汽缸内可能的位置及与之相对应的条件(题中给出量之

    点评:本题中由于瓶内水银量的不同可能会出现两种情况,一种是瓶内水银量较少,当水银全部倒在活塞上方时没有水银溢出;另一种是瓶内水银量较多,当水银部分倒在活塞上方时就会有水银溢出。多数考生会因为没有注意“把盛有水银的一个瓶子放在活塞上”与“把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方”的区别,而不能根据水银量的多少分类讨论。

    跟踪训练

    1.如图4所示,水平放置的柱形汽缸内用活塞封闭一定质量的理想气体,初始温度t0=27℃,体积V0=100cm3,活塞横截面积S=10 cm2。开始时容器内外压强均为P0=1×105 Pa,已知活塞与缸壁间的最大静摩擦力f=5 N,且等于滑动摩擦力。

    (1)若将温度升高到t1=37℃时气体的体积是多少?

    (2)若将温度升高到t2=127℃时气体的体积是多少?

    2.如图5所示,两端开口的汽缸水平固定,A、B是两个厚度不计的活塞,可在汽缸内无摩擦地滑动,其横截面积分别为S1=20 cm2、S2=10 cm2,它们之间用一根细线连接,活塞B通过水平细线绕过光滑的定滑轮与质量M=2 kg的重物C连接,静止时汽缸中气体的温度T1 =450 K,汽缸两部分的气柱长均为L,已知大气压强p0=1×105 Pa.取g=10 m/s2,缸內气体可视为理想气体。

    (1)求活塞静止时汽缸内气体的压强。

    (2)若缓慢降低汽缸内气体的温度,求当活塞A、B间细线的张力刚好减为零时汽缸内气体的温度。

    3.如图6所示,横截面积s=0.1 m2、高H =1.0 m的竖直圆筒,其顶端装有一光滑紧密配合的活塞,活塞的质量和厚度均可忽略不计,外界大气压强P0=75 cmHg。现将一定体积的水银缓慢注入活塞上面,活塞逐渐下降,压缩气体,直到活塞不再下移。(设气体的温度不变)

    (1)当水银总体积V1=4.5×104 cm3时,求最终筒内空气柱的高度h1。

    (2)当水银总体积V2=1.5×102 cm3时,求最终筒内空气柱的高度h2。

    参考答案:

    1. (l)V1=100 cm2; (2)V2=127 cm3.

    2. (1)P1 =1.2×105 Pa; (2) T2 =200 K。

    3. (1)h1=75 cm; (2)h2 =83.3 cm。

    (责任编辑 张巧)

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更新时间:2024/12/23 9:11:57