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巧解直线与圆锥曲线相交的中点弦问题

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陈阳恒

[摘要]中点弦问题是直线与圆锥曲线相交的典型题型，可通过一元二次方程的根与系数的关系或用点差法求解.若在客觀题中解决圆锥曲线的中点弦问题用这两种方法未免耗时太多.应用圆锥曲线的中点弦公式，能快速解决这类圆锥曲线中点弦的客观题.

[关键词]直线;圆锥曲线;相交;中点弦

[中图分类号] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文献标识码] ? ?A ? ? ? ?[文章编号] ? ?1674-6058（2020）32-0034-02

直线与圆锥曲线的位置关系是高考的考查热点，通常考查直线与圆锥曲线相交的问题，一般涉及求定值、定点、取值范围或证明存在性等问题.解决这些问题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合的方法求解.

一、求直线与圆锥曲线相交的中点弦问题的常规方法

在直线与圆锥曲线相交的问题中，中点弦问题是常见的典型题型，如求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹等问题，在客观题或解答题中都有可能出现.求解这类问题的主要方法有两种：

（1）联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，通过设而不求的思想，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.

由上面的例子可以发现，用圆锥曲线的中点弦公式解决客观题中有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率等问题时可简化运算步骤，快速求出正确结果，大大地节省了时间，达到快速解题的目的.

在实际教学中，可以让学生记熟这组公式，在客观题中遇到相应的问题只需代入公式求解即可.但需强调该组公式更多适用于选择填空题中的中点弦问题，对于圆锥曲线解答题中涉及的中点弦问题而言，考虑到解答题需写出必要的解题过程，还是应从常规思路入手，把完整的解题步骤写出来.

[ ? 参 ? 考 ? 文 ? 献 ? ]

凡晓莉.巧解圆锥曲线的中点弦问题[J].中学教学参考，2018（17）：19.

（责任编辑陈昕）

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