| 标题 | 延展式数学学习：内容研发与实施建议 |
| 范文 | 张齐华 摘要：延展式数学学习，旨在通过数学课程资源的双向拓展与学习时空的双向延伸，为学生建构常规数学学习以外的具有拓展性、补偿性和丰富性的数学学习生态。它可以为学生创造更丰富的学习资源、更开放的学习时空，帮助学生积累活动经验，感悟思想方法，实现数学学科与数学历史文化、现实世界以及其他学科之间的深度关联，拓展学科认知的边界。它可以引导学生在更真实、更综合的学习场景中获得更多的学习机会，提升数学学习品质，发展数学关键能力与必备品格，实现学科育人的根本宗旨。 关键词：延展式数学学习内容研发实施建议 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总体目标中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数學与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”简而言之，就是要实现由“双基”向“四基”的拓展，由“两能”向“四能”的延伸，以更好地实现数学学科的育人价值。 2014年，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出“教育部将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。至此，转变原有的学科教学价值取向，确立“学科育人”的根本宗旨，成为各学科教学与研究的共同价值追求。 史宁中教授在阐明数学核心素养时明确提出，数学学习应该培养学生“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”。笔者以为，史教授提出的“三会”，是对数学学科如何实现学科育人功能的具体化，给数学教学实践指明了方向。 当然，在具体的教育教学活动中，让“四基”“四能”“三会”融入学生的学习，让学科育人的理念真正落地，仅仅依靠课程理念的更新、教材编写的调整以及教学行为的转变还远远不够。课程资源的拓展延伸、学科教学的跨界融合、学习生态的重新建构等都应该成为实践应对的重要路径。本文拟从“延展式数学学习”视角，给出我们团队近三年的探索与实践，以与大家商讨。 一、延展式数学学习的内涵与意义 （一）延展式数学学习的内涵 所谓延展式数学学习，是以“学科育人”为根本出发点，以《义务教育数学课程标准（2011年版）》与现行数学教材为基本框架，结合当地社区及学生的实际情况，通过数学课程资源的双向拓展，学习时间、空间的双向延伸，为学生建构常规数学学习以外的具有拓展性、补偿性和丰富性的数学学习生态。 （二）延展式数学学习的意义 通过延展式数学学习，在更丰富的数学学习资源、更开放的数学学习时空里，积累更多元的数学活动经验，感悟更丰富的数学思想方法;通过延展式数学学习，实现数学学科与数学历史文化、现实世界以及其他学科之间的深度关联，拓展学科认知的边界;通过延展式数学学习，在更真实、更综合的学习场景中，获得更多的发现问题、提出问题、做出假设、展开实验、获取结论、建构模型、解释应用的机会;通过延展式数学学习，创造更多的“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的机会，提升数学学习品质，发展数学关键能力与必备品格。 二、延展式数学学习的内容研发 内容是学习的载体。如何研发出结构完备、逻辑清晰、难度适宜的延展式数学学习内容，是我们团队首先面临的问题。鉴于延展式数学学习特有的目标定位，我们从归纳与演绎两个维度，双线并进进行了学习内容的研发。 一方面，我们结合目标预设，开发（归纳）了一组散点式、富有创意的延展式数学学习教学案例，如《数说淘宝》《肯德基定价的秘密》《沉默的数据》《三门问题》《正方形中的圆》《羊吃草问题》等。大量教学案例的积累，让我们对“什么是好的延展式数学学习素材”“延展式数学学习素材从哪里来”等问题有了越来越清晰的认知。这些，为下一阶段系统建构延展式数学学习内容奠定了基础。 另一方面，我们也尝试以演绎的路径，建构延展式数学学习相对系统的课程内容。 （一）纵向延展：往学科纵深处探秘 延展式数学学习内容，不能纯粹成为天马行空式的数学拓展产物。在我们看来，数学课程标准是纲，数学教材文本则是目。延展式数学学习应该在教材的基本框架内，在已有知识内容的基础上，通过思维的纵向开拓、文化的深度勾连，以及与其他相关学科的跨界融合，创生出有结构、有梯度、有逻辑的学习内容。 1.向思维纵深处挺进。 这里的思维纵深处，既包括数学知识的纵深处、数学方法的纵深处，也包括数学思想与观念的纵深处。当学生的学习触角已经突破教材的边界，并汇聚了足够的学习驱动力时，教师可以顺势而为，在知识、方法、思想、观念等维度向外延展，以满足学生更高的学习需求。比如，《多边形的面积》单元结束后，我们结合学生的实际情况，延展出《万能的梯形面积公式》一课——通过组织探究，引导学生发现，本单元的多边形的面积，都可以借助梯形的面积公式进行计算。在探究、发现、验证的过程中，既深化了各种多边形的面积计算，又勾连了不同多边形面积之间的关系。 2.向文化更远方漫溯。 任何数学知识的发生、发展都能在数学历史的长河中找到线索。单元学习后，我们通常会组织学生以“历史回眸”的方式，整体回溯单元内容的历史事实与脉络，帮助学生拓展视野，深化对数学本质的把握。比如，同样是《多边形的面积》单元结束后，我们引导学生开展了《东西方数学史中的多边形面积》项目化学习，让学生在搜集资料、历史回溯、东西方文化比照等过程中，深化对本单元内容的理解和把握，获得数学文化的熏陶。 3.向学科边界处融合。 不同的学科，各有其基本的边界;但其实学科之间具有巨大的融合空间与可能性。steam课程就是其中的典型样态。比如，在《认识三角形》一课结束后，我们组织学生开展了STEAM课程《如何让鸡蛋从楼顶安全落地》的学习。学习过程中，既有对三角形稳定性及其他平面图形不具有稳定性的体验，同时又涉及科学、工程等学科内容。这样的延展，学科的边界在消融，更完整、更综合的跨学科学习得以发生。 当然，面对同一单元内容的不同延展性的学习任务，学生应具有一定的选择权——可以根据自己的兴趣爱好与学习小组的实际情况，选择适合的学习任务。这样，既增加了延展式数学学习的选择性与适切性，也不会对学生造成过重的学习负担。 （二）横向延展：在真实世界中探究 数学是对现实世界中的数量关系与空间形式的一种抽象化表达。然而，随着分科学习的不断推进，数学与现实世界在不断疏离，数学学习越来越呈现出与世隔绝的孤立状态。比如，掌握很多知识与方法，却难以在真实的世界中解决复杂问题、解释生活现象。鉴于此，我们希望让数学有机会重新回归现实世界，在学生解决复杂问题、解释生活现象、重构认知模型的过程中，重塑数学的意义与价值，彰显学科育人的本义。 1.解决现实世界中的真问题。 现实世界充满无穷的问题，数学不能解决全部，但至少给我们解决问题提供了独特的工具与视角。我们应为学生创造平台，让数学有可能在现实世界中一展身手，彰显价值。比如，“旧小区究竟该不该安装电梯”是五年级学生自主研发的延展性學习内容。这是一个十分真实的热点话题。解决这样的问题，既涉及费用的分配、房价的波动等数学知识，同时又会与经济考量、社会决策、人性博弈等深度关联。这样的延展式数学学习，呈现的是真实复杂的现实问题，还原的是多元融合的学习样态，往往对学生具有超越一般数学内容学习的更强的内驱力。 2.解释现实世界中的真现象。 世界万事万物运行的背后，都有某种秩序的支撑。而数学，往往是其中重要的构成因子。透过纷繁复杂的现象，看到数学在其中所发挥的作用，是学生更好地理解数学、感悟数学的重要载体。比如，有学生发现，肯德基和麦当劳这两家竞争对手常常会把门店开在一起。并且，类似的现象还有不少。这引发了六年级学生极强的探究兴趣。于是，“肯德基和麦当劳为何开在一起”便成为延展式数学学习的话题。再如，肯德基（麦当劳）几乎很难看到打折促销活动，相应的优惠券也从不会在柜台上直接提供。于是，“肯德基优惠券背后的秘密”也成为延展式数学学习的话题。随着研究的推进，学生会不断发现，这些看似寻常的生活现象背后，蕴含着一般人难以洞察的数学原理，比如博弈论中的纳什平衡，比如差异定价与价格歧视，等等。这样的延展式数学学习，帮助学生积累了活动经验，拓展了思维方式，深化了对数学意义和价值的深度体认。 3.重建认知世界的新模型。 日常的数学课堂教授学生认知世界的基本方式与逻辑，但现实世界显然需要更开阔的思维视域和更全面的认知模型。以“统计与概率”领域的学习为例，我们研发了“数说淘宝”“沉默的数据”等一系列延展式数学学习内容。如果说，前者给学生带来的是“数据会说话”“数据会撒谎”“决策很艰难”等认知感悟，那么后者给学生带来的则是“数据有时会沉默”“沉默的数据会带来认知的偏差”“看得见的数据未必是有效的数据”“决策中常常会有偏见”等思维洞察。这样的延展式数学学习，指向的往往不再是知识的加深，而是思维方式的重建、认知的迭代、解释框架的更新。简言之，就是数学头脑的升级。而这，无疑是数学学习更值得期待的效能。 三、延展式数学学习的实施建议 由于学习目标新的定位，加上学习内容的特殊性，延展式数学学习在付诸实践的过程中，既有与日常数学课堂相通的地方，也有其特殊性。具体表现为教师的“教”、学生的“学”与师生的“评”。 （一）教师的“教”：重要的是学习支架的搭建 1.启动学习。 由于延展式数学学习内容具有一定的拓展性，并一般会与现实世界、生活实际及数学历史的方方面面产生深度关联。所以，正式的学习一定在课堂开始之前。教师应通过预习任务、前置学习单的设计，组织学生提前搜集资料、了解背景、调查数据，为课堂上延展式数学学习做好充分准备。 2.设计任务。 教师应根据学习目标，设计针对性、开放性、挑战性、综合性的学习任务，以学习流程图、学习任务单、学习项目书等方式，给学生的延展式数学学习提供活动线索的指引、任务流程的示范和思维活动的“脚手架”等，为学生有序、高效地完成学习奠定基础。 3.组织共享。 不同的学习个体或学习小组，会就某一话题有不同深度、不同层次、不同角度的理解。加上基于复杂现实背景的问题，更多的时候并没有标准答案、唯一答案。所以，教师应引导学生充分地表达自己的观点以及形成观点的过程，关注他们的思维本身以及他们在此过程中的理解、体验、情感等。共享的过程，是观点分享的过程，是思维碰撞的过程，是观念融合的过程，更是学科价值不断内化吸收的过程。 4.回顾梳理。 延展式数学学习非线性、不确定的特质，需要教师在组织教学后引导学生回顾、梳理学习过程，对学习过程中的得失、感悟、启迪等进行“复盘”。每一次的回顾、梳理，都会让有益的方法得到巩固，有效的思维得到提炼，正确的价值观得到深化。所有这一切，会使学生在以后面对相似的学习任务或现实情境时，能够举一反三，实现思维与问题解决方法的迁移，最终实现数学素养的有效提升。 （二）学生的“学”：着眼深度卷入与对话 与教师的“教”相对应，学生的“学”也应该在如下四个方面做好规划与设计：提前浸入、深度研究、多元对话与全面反思。在这里，特别需要提醒的是，在纵向延展式数学学习中，我们要鼓励学生跳出知识与一般数学方法的局限，而更多地从数学思维方式、数学认知模式、方法论、数学文化理解等角度展开深度学习。在横向延展式数学学习中，我们要鼓励学生既基于数学学科的视角思考，感受数学思维对于理解、解释现实问题的价值;同时，又不能囿于数学学科的视角，要敢于站在跨学科、全学科的立场上，多视角、整体性地把握问题，获得对现实问题全局式的理解。表现在学习方式上，我们更倡导学生开展研究性学习、项目化学习、跨学科的STEAM学习，以便以一种更融合、更真实的视角，深度卷入学习过程，获得思维、情感、人格的全面提升。 （三）师生的“评”：指向数学学科育人 评价是为了更好地省察延展式数学学习活动的过程及效能，评估师生在其中的收获与成长，也为后续学习活动的设计、规划与实施提供参照与借鉴。 1.评价教师的“教”。 对教师而言，这是一种反思性评价。学习任务结束后，教师需要对教学内容的适切性、教学流程的科学性、教学任务的合理性、活动推进的有效性等多个维度，做出全面、客观的评估。当然，学生对此也同样具有评价的权利——他们可以以自己的切身体验，通过问卷、访谈等方式给出自己的评价与建议。评价本身，既可以让这一次延展式数学学习的任务得到修整与完善，为其他学生开展学习活动创造更好的学习环境，同时也有利于教师反思并完善下一次延展式数学学习，从而使教师在不断的经验传承过程中优化教学活动的设计，提升延展式数学学习的整体效能。 2.评价学生的“学”。 评价的主体可以是学习者本身，也可以是学习团队中的同伴，当然更离不开教师，以及协助参与延展式数学学习的家长及其他人群。评价主体的多元，可以消解单主体（一般为教师）评价所形成的偏见和盲区，可以让评价更客观、公正，也更有利于全方位展现学生的表现。评价的方式同样可以多样化——可以是学生的可视化作品，可以是师生间的互动访谈与交流，可以是项目实践过程中的教师观测，当然也可以是精心设计的基于任务的纸笔检测等。评价内容也较传统数学课堂更开放、更多元——可以评价学生学习活动的参与度，学习过程中表现出的思维，解决问题过程中能否与同伴协作并共享，任务完成过程中是否积累活动经验、感悟思想方法、善于提出问题、形成数学眼光等。所有这一切，都指向上文中的“四基”“四能”“三会”的要求，并最终指向数学学科的育人价值这一核心诉求。 |
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