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一类新定义下的连续不可导的函数

范文

马涛

【摘要】设f（x）是定义在[a，b]上的精致函数，有

（1）f（x）在[a，b]上的弧长无限.

（2）f（x）在[a，b]上是处处连续处处不可导的.

【关键词】函数;几乎精致;弧长

一、引言

对处处连续处处不可导的这一类函数，古今有一些研究，大致可分为两类，第一类为维尔斯特纳斯以三角级数构造的，如下

其中，11+3 2π.这类函数偏重代数性质，忽略了几何性质.

第二类为分子布朗运动形成的轨迹，具有一定的几何性，但近似于震荡的，几何结构过于单一化了，且是随机的.

新定义的这类函数，有精致的几何结构，且在不同量级的尺度下测量，具有不同的几何结构，从而使得几何结构变得丰富多彩，使得几何结构不具有确定的答案.

其中，蕴含了分形的思想，偏重于几何结构，更在意于小量级下的结构，这和量子所处的尺度相重叠，都着重于描叙精细结构，探索微观下的性质.

二、预备知识

数列与序列：数列{an}.→：n→+∞.序列{an}.可以使得，n<+∞.

数序基础：a，b∈R ，且a≠b，那么，a，b之间必定包含R 上无穷多个数;对大于或小于关系，R 上满足完备性.

符号意义：I={1，2，3，…，n}，n∈N +，称I为指标集.

A，B为任意集合，A

数量级上的比较定义：a1a2是正实数集上任意两个元素.设定‖a‖代表正实数a的数量级，等价于，n1n2.其中，a1a2，‖a1‖=10n1，‖a2‖=10n2;数量级计数表示为a=a′a，a′∈[1，10）.

称Δx的值为精度.

无特殊声明外，一律在闭区间讨论.

定义1 有f（x）在[a，b]上有定义，也可以定义在（-∞，+∞）上.

给x0∈[a，b]，在给定的δ>0下，∪（x0，δ）<[a，b]内.[在x=a或x=b处.考虑;∪+（a，δ）或∪-（b，δ）].

满足下述条件：

在某一点的右邻域或左邻域满足精致定义，称，该点的右边或左边是单边精致的.

除特殊聲明外，一般在∪+（x0，δ）内讨论.

存在性.

显然的，P0点精致性可以决定于尺度远远小于ε的微观结构.

证毕.

例如布朗运动的几何结构为病态的精致函数图像，其中改变了|ai|，|ai-1|的范围，使得|ai|→+∞;|ai-1|→+∞.

定义2 变换φ称为连续形变.假如满足如下条件.

① 只对函数关系图像有效，且：变换后关系依然为函数关系.

② 变换前后，弧长（或弧面.）具有不可伸缩性.

③ 变换前后，函数关系图像都为连续的.

三、主要结论

定理1 f（x）是定义在[a，b]上的精致函数，则f（x）在[a，b]上的图像总弧长趋于无穷.

证由定义可知，f（x）在[a，b]上是连续的，则弧长是存在的.

证毕.

直观上的反映：当弧长为有限值，分割区间长度趋于零，则分割区间上的弧长是没有阻碍趋近于零;当弧长为精致弧长，分割区间长度趋于零，则分割区间上的弧长总存在精度阻碍其趋于近零.

证毕.

以上结论表明，以精致函数图像作积分路线，被积函数正则的条件下，其第一类线路积分大多是发散的，这也是精致函数区别于一般函数的重要特征.

四、结束语

本文研究了新定义下的，处处连续处处不可导一类函数，并分析了其中一些性质，得到了一些结果，如任意子区间上的弧长无限性，任意子区间内不存在单调性，线路积分在正则条件下的发散性.

确切地说，在量子尺度的量级上更具有意义，很自然可以想到，将精致的概念进一步推广，扩展到精致曲面，以及更高维度的几何体，容易推测，它们在有限的区域内蕴含无穷大的边界.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]何穗，刘敏思.实变函数[M].武汉：华中师范大学出版社，2013.

[3]何书元.随机过程[M].北京：北京大学出版社，2008.

[4]孙炯，郝晓玲，贺飞，王万义，赫建文.泛函分析：第二版[M].北京：高等教育出版社，2018.

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