| 标题 | 感受数学史的教育价值 |
| 范文 | 赵婷 杨闻起 摘 ?要：本文从数学家的角度介绍了数学史的教育价值，根据侧重点不同将国内数学学者对数学史的看法进行分类总结，在此基础上结合个人观点，探讨了数学史教育价值的具体体现，以期能让更多人感受到数学史的教育价值。 关键词：数学史 ?教育价值 ?数学教育 中图分类号：G632.0 ? ? ? ? 文献标识码：A ? ? ? ? ? ?文章编号：1672-1578（2019）09-0049-02 公元前4世纪，古希腊数学家就已经开始系统研究数学历史。随着数学学科的发展以及数学教学的需要，诸多数学家开始意识到数学史与数学教育有着千丝万缕的联系，了解数学史并能合理运用数学史，这对教师教学与学生学习都有不小的帮助。1 ? 数学家谈数学史的教育价值 从19世纪开始，一些数学家已经关注数学史的教育价值。例如，1855年，法国犹太数学家泰尔康创办的《数学文献、历史与传记通报》，这一刊物中就有许多教育取向的数学史文章，从这一方面来说，数学史可以为数学教学提供丰富的数学素材。1865年，英国数学家德摩根在伦敦数学会主席的就职演说中指出，“人类数学思想的早期历史引导我们发现自己的错误;从这个方面说，关注数学的历史是很有益的”[1]。1894年，美国数学史家卡约黎所著《数学史》一书的前言中指出，“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加”[1]。1900年前后，美国数学家史密斯所著《初等数学的教学》《近代数学史》《几何的教学》等书籍介绍了有关算术、几何为何教、教什么、如何教等问题。从19世纪到20世纪初，不同时期的数学家都在以他们关注到的角度来阐述数学史对于数学教学的重要意义。其中有延续之前学者的思想，对其进行补充说明，也有换一个角度来说明数学史的教育价值。 数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM） 于1972年在第二届国际数学教育大会成立，标志着数学史与数学教育关系作为一个新的学术领域出现。至此之后，关于数学史教育价值的研究逐渐增多，国内不少学者也开始了这方面的研究。张贵新认为，研究数学史使学习者深入认识了数学的产生和发展、提高了科学的教育水平、获得探索新领域的思想方法[2];袁小明认为，就数学中历史材料的教育价值而言，它能为学习者提供相对完整的数学思维，包括思维过程、思维形式、思维特征以及思维的成功与失败等，其主要体现在三个方面：概念的形成和概念系统的建立、问题求解、思想教育[3];骆祖英认为，就数学史的德育教育价值而言，它有助于爱国主义和国际主义教育、引导人们用辩证唯物主义的眼光看待事物的发展、展示了数学家的奋斗拼搏史给学习者以精神鼓励[4];汪晓勤从数学兴趣与数学观、原始资料的价值、数学学习情感影响、数学学习的认知过程、对数学的理解与欣赏五大方面概述数学史的教育价值[5];唐志华认为，数学史的教育价值主要表现在三个方面，即振奋民族精神的价值、人文教育的价值、返璞归真的价值、思想方法教育价值[6];蔡宏圣从教师、学生、教学内容三个方面阐述了数学史的教育意义，即数学史是教师调适数学观念的重要基础、数学史是学生把握思维历程的独特视角、数学史是厘清数学本质的厚实背景[7];沈南山、黄翔认为数学史具有明理、哲思与求真三重教育价值，分别回答了数学知识从何而来，数学是一门什么样的科学，数学科学有什么用[8]。 综观以上已有研究，数学家与数学学者对数学史的教育价值已认识颇深，且從不同角度阐述了其价值的具体表现，这里通过对上述观点进行总结，以期更为形象地理解数学史的教育价值。2 ? 对“数学史教育价值”不同理解的综合分析 通过分析不难发现，数学史的教育价值主要体现在以下四个方面：数学观、概念与思维、思想与情感、教师的教与学生的学，其中所涉及内容有指向教师的、学生的，还有同时指向教师和学生的。教师一方面担任着教育者的角色，另一方面也扮演着学习者的角色，毕竟在浩瀚的数学史的海洋里，没有哪一位教师敢随意说自己已了解了迄今为止的全部数学史。 2.1 数学观 数学作为一门基础学科，所涉及知识与其应用领域的广泛是其他学科不能比拟的，对数学有一个正确的认识，了解它的产生与发展，可以帮助教师和学生更深入地认识和理解数学，从而树立一个正确的数学观。 数学的产生并不是凭空想象的，是有一定的现实需要。数字，作为数学中较早出现的概念，就有其现实依据。起初人类并无数的概念，由于记事和物品分配需要，数的概念便应运而生。回顾古人计数，早先人们用物品来计数，如石子计数、结绳计数、刻痕计数，后来人们逐渐发明了一些技术符号，并用它来表示数，如古埃及象形数字、玛雅数字、中国算筹数码，直到阿拉伯数字的产生，这一过程都与社会发展以及生产需要的推动有关。 数学的发展也不是一蹴而就的，而是循序渐进的，由简单到复杂，由一个方向发展到多个方向。代数学可以说是人们最先广泛接受的数学，早先的代数学和几何学还是相互独立的两个数学分支，直到16世纪，笛卡尔创立的解析几何，将这二者联系在一起，后来数学发展到了微积分，直到现在，数学的分支包含了数理逻辑、数论、拓扑学、代数学、几何学、分析学、微分方程、概率论与数理统计等。 2.2 概念与思维 数学概念是构成数学知识体系的基础，而数学思维又是数学解题的依据，了解数学概念的形成以及前人的数学思维，有助于教师和学生更透彻地理解数学概念并拓宽自身的数学思维。 实际上，任何数学概念都有一个发展的过程，并不是一开始就是完善的，而是在一次次改进的过程中形成如今教材中的概念。函数的定义，由17世纪末提出，到19世纪才形成了如今教材中所表述的定义，这中间也经历了不短的时间。 函数一词，最初是由德国数学家莱布尼茨提出，用来表示随曲线的变化而改变的几何量，而其学生约翰伯努利强调函数要用公式表示。然而欧拉并不这样认为，他将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。函数是否需要用公式表示，这在当时的数学界算得上一大困惑。随着微积分的出现，狄利克雷提出，“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数” [9]。随着集合概念的出现，函数概念更为严谨，也就是如今高中教材中所表述的函数概念。 可见，函数概念的发展是反复且曲折的。在了解这一历史的基础上，引导学生将初中与高中所学函数概念进行对比，一方面帮助学生更清晰地理解了函数的概念，另一方面也解决了学生关于“为什么初高中所学函数概念不同”这一疑惑。 数学史中包含了不少数学定理的来源及其证明，将数学定理放在某一特定历史背景下不仅能深刻地感受数学的实用性，也可以拓宽学习者自身的思维，掌握更多的数学方法。在托勒密的《大成》一书中就涉及不少有关平面三角学与球面三角学的数学材料，如托勒密定理，“给定一个圆内接四边形，它的对角线的乘积等于它的两对边乘积之和”，这一定理在几何证明中被广泛使用，理解并会使用它尤为重要。《大成》这本书中就有这个定理证明的全过程，展示了托勒密解决这一问题的整个思路。 2.3 思想与情感 任何一段历史，它的价值绝不仅限于扩充学习者的知识储备，更深层次上影响着学习者的思想与情感，以推动其正确价值观的形成。数学史也不例外，它的德育教育价值主要体现在以下三个方面： 首先，有助于学习者的爱国主义教育。初高中的数学课本中，学生会了解到不少的数学家，如莱布尼茨、伯努利、欧拉、柯西等，这些多以国外数学家为主，对国内的数学家以及其所取得的成就知之甚少。其实，古代中国的数学相当厉害，如天元术与四元术、圆周率及其求法、勾股定理、中国剩余定理在当时可是极具影响力。 其次，有助于学习者用辩证唯物主义的眼光看待事物的发展。数学是严谨的，这一点是毋庸置疑的，但这并不代表数学是不可置疑的。回顾数学史上三次危机：第一次数学危机，毕达哥拉斯提出“万物皆数”、“一切数均可表成整数或整数之比”，然而希帕索斯发现的 推翻了这一结论，自此无理数诞生。第二次数学危机，由牛顿、莱布尼茨发现的微积分在当时解决了许多数学难题，但却存在一个弊端，微积分理论建立在无穷小的基础上，但他们对无穷小的概念介绍的较为模糊。直至柯西用极限的方法定义了无穷小量，这一问题才得以解决。第三次数学危机，康托尔创立了著名的集合论，当时的数学家认为从自然数与康托尔集合论出发可建立整个数学大厦，然而这一美好愿景被英国数学家罗素所提出的罗素悖论所破灭。不难发现，三次数学危机得以解决，在于其后人敢于质疑并极力找出解决方法，从而使相关理论知识更为严谨与完善。 最后，有助于学习者数学信仰的培养。快节奏的社会氛围推动着人们对“速成”的追求，理论与实践知识教育的不平衡使一部分研究者只会“闭门造车”。当下，数学信仰正是数学学习者、教育者，尤其是研究者所紧缺的。阅读数学史，了解数学家的人生经历，感受信仰的力量可以为数学学习者指明方向。 在大部分人坚信“数即万物”，希帕索斯发现了无理数，并为此葬身大海。三次数学危机告诉人们，真正的做数学，一定要有自己的信仰。在对某一问题质疑且有科学根据时，敢于挑战“主流”才能真正地推动数学的发展。 2.4 教师的教与学生的学 数学史对教师教学工作的开展也是受益无穷。一方面数学史的相关史料可以作为教师教学的素材，如数学小故事的引入、以古代数学问题导入新课等。另一方面数学史上难以被人们接受的概念，学生也可能会难以接受，这时教师可参考这些数学难题最终如何被解决，又是如何被世人所接受的，以此来解决学生的困惑。同样地，学生在得知数学家也曾在这些数学问题想不通，心理会得到安慰。 近年来，数学史的教育价值已被广大的数学教育者关注，作为师范生或在职教师，理解数学史的重要性是一方面，更重要的还要考虑如何将数学史更好地运用于教学实际。 参考文献： [1] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京.科学出版社，2017. [2] 张贵新.论数学史的教育价值[J].现代中小学教育，1987（01）：35-39+96. [3] 袁小明.论数学教育中历史材料的应用[J].数学教育学报，1992（01）：119-123. [4] 骆祖英.略论数学史的德育教育价值[J].数学教育学报，1996（02）：10-14. [5] 汪晓勤，林永伟.古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值[J].自然辩证法研究，2004（06）：73-77. [6] 唐志华.数学史的教育价值及数学史志教育的策略[J].数学教育学报，2007（04）：27-30. [7] 蔡宏圣.数学史：从象牙塔到小学课堂[J].课程.教材.教法，2009，29（02）：40-44. [8] 沈南山，黄翔.明理、哲思、求真：数学史教育价值三重性[J].西南大学学报（社会科学版），2010，36（03）：141-145. [9] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.数学必修1[M].北京.人民教育出版社，2015. 作者简介：赵婷（1996-），女，汉族，陕西咸阳人，碩士研究生，研究方向：数学学科教学。 杨闻起（1962-），男，汉族，陕西宝鸡人，教授，硕士生导师，研究方向：代数学。 |
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