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标题 对一道数列求和题的思考与研究
范文

    周婷婷

    摘 要:數列求和是高考考查的重点内容之一,其中用错位相减法求和是高频考点,它要求学生具有严谨的数学逻辑思维能力和较强的数学运算能力。然而我们学生最后得到的结果经常出错,在数列12分的大题里面,大部分学生得分都是在6、7分,很不理想。本文从一道错位相减法求和的数列大题,进行对该类题型的解法分析和研究,希望对广大学生有所帮助。

    关键词:数列;求和;错位相减

    数列是出现在高中数学教学课程必修五课本的第二章内容,数列是高考的必考内容,其中数列求和是考查的重点和难点。高中阶段对数列求和的方法主要有公式法(等差、等比数列求和公式)、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法和错位相减法等。其中错位相减法最深受学生的“痛恨”,虽然此方法思路简单,但是计算和化简的过程繁琐,要求学生具有很强的运算能力,以及具有清晰的解题逻辑思维能力。错位相减法求和也是在考查学生的心理能力,考查我们学生能否在有限的时间里面快速的正确的完成。

    以下我就围绕一道利用错位相减法求和的例题,根据班级学生出现的解题思路以及解法做进一步的分析和总结。

    题目:已知数列
的通项公式
,求数列
的前
项和
.

    分析:数列求和错位相减法使用类型题:已知数列
的通项公式
;其中数列{
}为等差数列,{
}为等比数列,求数列
的前
项和
。在教材中的概念课推导等比数列的前n项和的公式就是用错位相减法进行推导的。

    【解法一:】

    解:


    

    

    学生在用错位相减法解题的时候,①、②式子容易写出,易错的地方是出现在两式相减之后的计算和化简。在上面的解法一中,①—②所得的式子里面,得出
,这涉及到了等比数列的求和,学生如果在这里应用等比数列的前n项和公式,

    

,那么
共有(n-1)项进行求和,其和代入公式应为 ?????????,而我们

    学生在这里的运算往往会欠缺项数问题的考虑,易错成n项,直接计算出错导致丢分。所以为了避免出现项数的错误,我们建议该步等比数列的求和可用另外一个公式:
,这个公式用到了数列的首项和末项,而该等比数列的首项和末项在此

    
式子中容易得出,即:

    

    其次,在①—②所得的式子里面,因为是错位进行相减,所以最后一项的相减应为:
,所以最后一项的符号应为负,而我们学生也会易错写成加号。

    错位相减法求和是需要学生有很强的计算能力,然而如果按照解法一的方法做题,很多学生还是会很难接受,原因出现在了分式运算,这对于原本计算能力欠缺的学生真的是难上加难。所以我们可以进一步思考研究,发现如果我们进行错位相减之前,能够把原先的通项公式
进行适当的变形处理,结合学生的学习认知能力,处理成明显的等差数列
乘以等比数列
的标準形式,即
,这样我们学生比较容易接受,因此出现了以下的解法二。

    【解法二】

    解:

    

    

    

①?-②得:


    我们再进一步的分析研究解法二发现,在①—②所得的式子

    在解法二上,我們是直接对
用了等比数列求和的公式运算。在这一步中如果在等式每边进行乘以2的运算,这样可以得到等式:?
,之后我们发现
,也就是
,我们可以拆写成?
?,而1我们可以写生
,进而在后面看似复杂的计算化简中,我们进而得出以下解法三。

    【解法三】

    

解:

    
①-②得:

    

    这道数列求和题中,三种解法本质是一样的,但是不同的解法体现不同的计算思维的方法,也体现出转化的数学思想。所以我结合上述的三种写法,在用错位相减法进行数列求和时,给出以下几点做题建议:

    1、熟知转化的数学思想,并能灵活应用。做题时需仔细审题,观察题目适合哪种数列求和的方法,若求和类型不明显,则观察分析是否能够转变成我们熟悉的通解通法,这就是做题的突破口。同时也要求我们必须掌握利用错位相减法求和适用的数列题型,即所求数列的通项公式为“等差×等比”的形式。当所求数列的通项公式比较复杂时,我们可以先对通项公式进行适当的化简变形,变成明显的“等差×等比”的标准形式。例如;2017年天津卷(2)的高考数列题,由第一问可求得
,第二问求数列
的前n项和,在第二问中,我们可以做以下的化简:

    

    这样灵活的处理化简,转化成熟悉的错位相减法求和的类型题,学生易懂,计算也会不易出错,解题效率和正确率都会有所提高。

    计算时要仔细,不贪快。我们做题的时候,在平时计算的易错点要特别小

    心,不丢冤枉分。比如在两个式子进行相减时,错位进行相减后的最后一项的符号是负的,为了避免此处出错,我们建议可以在第二个式子乘以公比之后错开来写,实则是“错位”二字的体现,这样两个式子相减之后,上面式子和下面式子对应项相见会一目了然。如:

    

    使用恰当的等比数列求和公式,会在计算上给我们降低错误率。在两个式子进行相减后,往往会得到一个等比数列的求和,如果我们使用等比数列求和的公式
,公式中的指的是所求数列和的项数,而有些题目的项数并不明显看出,学生做题时容易都当成额求
项和导致错误。所以为了避免出现项数错误,我建议可以选择用公式:
,该公式中的
是该数列求和中的首项,
指的是该数列求和的末项。比如:

    

    在上面的式子圈出来的求和部分中,是一个等比数列求和,如果我们使用公式
进行求和,注意項数是第三项一直加到第
项,共有
项项进行求和,结果为
,然而我们学生容易在项数上出错。如若我们使用公式
求和,不需考虑项数问题,直接代入结果为
,公式中的

可以直接从式子中看出。

    4、在两个式子相见之后的计算中,我们也可以先观察是否有些项可以通过拆分,或者进行添项、减项,进而得到恰好构成n项的等比数列求和。如果可以,则会使我们的接下去的解题计算更加简便,也更加方便我们运用等比数列求和公式,同时还会避免了上述第三点意见中的使用恰当的等比数列求和公式的选择。

    参考文献:

[1]涂荣豹,王光明,宁连华.新编数学教学论[M].上海:华东师范大学出版社,2006.173—187.

[2](美)G.波利亚.怎样解题[M].涂泓,冯承天译,上海:上海教育出版社,2007.29—32.

[3]周丹.关于数列求和方法的探究式教学设计(J).科教文汇(下旬刊).2015(06).

    [4]魏立伟.几种特殊数列求和的方法和技巧(J).学周刊.2014(31)

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更新时间:2024/12/23 3:33:54