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方程思想在初中几何中的运用

范文

冯东梅

【摘要】在初中数学的众多知识点中都体现了方程思想，方程思想其实是一种代数问题，有一些初中几何问题表面上看起来好像与方程思想毫无关系，但是解题时却发现离不开方程思想的辅助.因此，在解决初中数学几何问题时要善于挖掘问题中的潜在条件，利用条件解决数学疑难问题，最后在解决问题时要注意方程思想的运用.

【关键词】方程思想;几何;运用

一、方程思想的内涵

方程思想是指在解决数学问题的时候，通过寻找问题中的未知数，将未知数与已知条件相结合建立一种等量关系，然后通过求解出方程中的解，最后順利解决数学问题的一种思想.

二、初中几何

几何主要研究空间中的结构与性质，数学研究中主要研究数论、代数等等，它也是数学研究中最基本的研究内容之一，与代数和数论在数学研究中都拥有着重要的地位.初中的几何知识点主要包括解三角形、四边形与圆.

三、方程思想在初中几何中的实际运用

（一）平面几何建立方程求解——折叠问题

以折叠问题为例有线段的折叠、三角形的折叠、四边形的折叠，还有结合平面直角坐标系的折叠等问题均广泛运用方程思想求解.

以四边形折叠为例.

例1 （1）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图1所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=4 cm，BC=8 cm，则DF=cm，重叠部分△DEF的面积是cm2.

解设DF=x cm，则CF=（8-x） cm，由勾股定理得：CD2+CF2=DF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5，进而即可求解重叠部分△DEF的面积;

此类题目常用勾股定理作为等量关系列方程求解某未知线段长，进而求解周长、面积等问题，可以说方程思想的运用是解决问题的关键.此题目还可以进行变式训练，比如，与函数结合：（2）若以B点为原点，直线BC为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，求直线DF的解析式，我们可以借助上题已经用方程求得的线段长转化成求点坐标，进而利用待定系数法列二元一次方程组求得解析式;此题还可以再进一步进行知识延伸，又比如，（3）在x轴上找一点P，使得△PDF为等腰三角形.学生可以利用分类思想将问题归为三种情况，a.PD=PF;b.DP=DF;c.FD=FP，设P（x，0），可利用上述的等量关系以及两点间距离公式列方程，求解出所求点P的坐标.

（二）平面几何建立方程求解——函数与几何图形中的相关问题

这类问题常见的类型有：函数与三角形、函数与四边形、函数与圆等，均可运用到方程思想解决.以几何图形与二次函数相结合的题目为例.

例2 如图2所示，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B，C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？

解（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，

∴点B（10，5），C（12，0），

∴100a+10b=5，144a+12b=0，解得a=-1 4，b=3，

∴抛物线的解析式为y=-1 4x2+3x.

（2）根据勾股定理，AC=OA2+OC2=52+122=13.

∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，∴点P运动的时间为：13÷2=6.5（秒）.

则CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，

∵∠ACO≠90°，∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：

① 当∠PQC=90°时，cos∠ACO=CQ CP=OC AC，即t 13-2t=12 13，解得t=156 37;

② 当∠CPQ=90°时，cos∠ACO=CP CQ=OC AC，即13-2t t=12 13，解得t=169 38.

综上所述，t=156 37或169 38时，△PQC是直角三角形.

此题就利用了二元一次方程组求二次函数解析式，利用相似三角形对应边成比例列分式方程进而求解直角三角形存在性问题、动点问题等.这道数学题的设计将初中几何相似问题与函数以及方程思想进行有机地结合，让学生在学会方程思想的同时也巩固了函数的知识点，有利于学生对知识的巩固也有利于提高学生的逻辑思维能力和知识掌握能力.

四、结语

方程思想贯穿于整个初中数学的始终，初中方程知识点主要由一元一次方程，二元一次方程（组）、分式方程以及一元二次方程等等，我们有必要去挖掘初中几何中所蕴含的方程思想，灵活地运用方程思想去解决数学问题，掌握方程思想这种思想方法对我们分析与解决问题有很重要的实际意义.

【参考文献】

[1]李清.浅析函数与方程思想在初中数学教学中的渗透[J].新课程研究：上旬，2018（7）：98-99.

[2]夏雪峰.浅析初中数学中渗透函数与方程思想的教学策略[J].中学课程资源，2017（9）：30-31.

[3]孔令先.浅析方程思想在初中数学中的应用[J].读与写（教育教学刊），2016（8）：133，188.

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