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标题 浅析向量在数学解题过程中的应用
范文

    

    

    

    摘要:向量作为高中数学重要的知识点之一,其既可视为代数问题,又可视为几何问题,具有双重性,是高考中的常客,无论是选择题、填空题,还是解答题中均有體现,应引起学生们的高度重视。本文从向量的基本知识点入手,进一步分析其在数学解题过程中的应用。

    关键词:向量? ?代数问题? ?几何问题

    向量作为一种基本的解题工具,常被应用于其他常考知识点中,如不等式、数列等代数问题,平面几何、立体几何等几何问题。要想熟练运用这种工具,就必须牢固掌握其基本知识,做到活学活用。

    一、向量的基本知识点

    向量是兼具大小和方向的量,一般用? ? ?或? 表示,其长度大小又称为向量的模,用? ? ?或? ?表示。当然,在高中向量知识中,最长常用的时候坐标表示? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。下面对向量中的常用知识进行了简要总结。

    向量基本运算:设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,那么

    ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。在加减、数乘运算上,基本没有变化,但对于向量的乘法就与之前所学的有很大不同。? ? ?称为向量的叉乘、外积,它不满足常用的交换律与结合律,具体表现为:? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而

    ;而? ? ? 称为向量的点乘、内积,其计算公式为:

    。因此,在进行向量的乘法计算时需格外注意,需区分是叉乘还是点乘。

    向量平行定理(不考虑零向量):向量? 与向量? 平行的充要条件为? ? ? ? ?且? ? ? ? ? 。

    向量垂直定理(不考虑零向量):向量? 与向量? 垂直的充要条件为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

    通过对向量基本知识点的简要分析,易知用向量的代数计算可以反应向量的几何关系,且还能进行角度的分析,这就可以用坐标表示向量,进而将其与几何关系联系起来,这种方法也是求解几何问题最常用方法之一,尤其体现在立体几何中。

    二、向量在解题过程中的具体应用

    高中数学习题主要可分为代数问题与几何问题两大类,在这两类问题中,均有向量的用武之地。下面就以具体的习题来阐述向量的基本知识在解题过程中的应用。

    (一)代数问题

    例题1:证明对任意实数a、b、c、d,均有

    。

    解析:这道题虽然字母较多,但证明起来并不难,正常展开即可。当然,由于题中既有平方和的形式,又有相互乘积之和的形式,与向量的模长与内积形式一致,因此,不妨设向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,且? ?与? 的夹角为θ,应有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,对两边同时取绝对值,有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。因为? ? ? ? ? ? ?,所以

    ,即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,证明完毕。可将这一关系做进一步延伸,可推广到一般情形即

    。

    上述这一延伸结论可以作为不等式证明的一种技巧,比如,a、b、c∈R+,且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,求证? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。解析:构造向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,根据上述延伸结论可知,

    。

    例题2:已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

    (i)求證? ? ? ?为等比数列;(ii)当? ? ? ? ? ? ? ? 时,? ? ? ? ? ? ? ? ?,数列

    的前n项和Sn。

    解析:(i)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以? ? ?为等比数列;(ii)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,因为是向量夹角,所以? ? ? ? ? ? ,故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

    (二)几何问题

    例题3:如图1所示,F是抛物线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的焦点,一直线过点F与抛物线交于A、B两点,过B作x轴的平行线,交准线与点C,求证直线AC经过原点。

    解析:设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则

    。要证直线AC经过原点,只需证? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。因为直线AB经过点F,所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,即

    ,

    证明完毕。

    图1

    例题4:在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且ABCD是边长为2的菱形,BAD60。(i)求证BD平面PAC;(ii)若PAAB,求PB与AC所成角的余弦值?

    解析:(i)根据题中描述,绘制四棱锥P-ABCD如图2所示,方便寻找关系。因为PA平面ABCD,所以PABD,又因为ABCD是菱形,所以BDAC,进而证明出BD平面PAC;(ii)在这种立体几何求成角问题中,最常用的方法就是在给定的几何体上建立合理的坐标系,用向量的方式表示这两条直线,进而求出夹角的余弦值。本题中,以A为原点、AP为z轴,AD为x轴建立空间直角坐标系,如图3所示。根据题中的数量关系,易得出所需个点坐标A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ,? ? ? ? ? ? ? ? ?,故 ? 。

    图2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图3

    三、结语

    总之,向量因其自身代数与几何的双重性,使之在高中数学的解题过程中具有极大的实用性,也是数形结合思想的一种体现,尤其是在立体几何求线线夹角、线面夹角、二面角问题中应用的极为广泛,是高考中的常客,学生们应对予以重视,充分理解向量的基本知识点,对向量的具体应用类型进行归纳总结,以拓宽学生的解题思路,提升综合应用能力。

    参考文献:

    [1]王军玲.向量在高中数学解题中的应用[D].西北大学,2017.

    [2]陈纪源.向量在高中数学解题中的应用研究[J].数学学习与研究,2018,(03):64.

    [3]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[J].科学文汇(下旬刊),2015,(05):110-111.

    (作者简介:黄亦凡,高中学历,南昌市第二中学,研究方向:数学方向。)

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更新时间:2025/3/16 8:03:45