标题 | 关联圆锥曲线焦点、准线的一个性质的推广 |
范文 | 陈建海 1 问题的提出 《福建中学数学》2018年第6期文[l]对一道课本例题进行逆向探究,得到了关联圆锥曲线焦点、准线的的一个性质,即下面的性质1-4(即文[l]的“一般性的结论”).读后颇受启发,但觉意犹未尽,本文拟对上述性质进行推广.先把文[l]的性质1-3及“一 般性的结论”抄录如下: 性质1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点D在抛物线的准线上,若直线BD平行于抛物线的对称轴,则直线AD经过抛物线的顶点O(如图1). 性质2过椭圆焦点F的直线交椭圆于A,B两点,点D在焦点F对应的准线上,若直线BD平行于椭圆的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点)(如图2). 性质3过双曲线焦点F的直线交双曲线于A,B两点,点D在焦点F对应的准线上,若直线BD平行于双曲线的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点). 性质4(即文[1]的“一般性的结论”)过圆锥曲线焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,点D在焦点F对应的准线上,若直线BD平行于圆锥曲线的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点). 以上性质揭示了关联圆锥曲线焦点、准线的一个性质,那么,这个性质对圆锥曲线的“类焦点”、“类准线”能否成立?即能否把上述性质推广到“类焦点”、“类准线”的情形? 2 性质的推广 经探究发现,以上性质不仅对圆锥曲线的焦点、准线适用,而且对圆锥曲线的“类焦点”、“类准线“也适用.可以把上述性质推广到“类焦点”、“类准线”的情形. 性质1-1过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A,B两点,点D在抛物线的“类准线”上,若直线BD平行于抛物线的对称轴,则直线AD经过抛物线的顶点O. 证明 如图l,以抛物线的顶点O为原点,抛物线的对称轴为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为y2=2px(p>o),“类焦点”F(m,o)(m>o),“类准线”x=一m与x轴的交点坐标为(一m,o).下面分两种情况证明. 当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y=k(x一m)(k≠o). 得k2(X-m)2=2px, 整理得k2X2—2(k2m+p)x+k2m2=0. 设A(x1,Y1),B(X2,y2)(Xl≠X2), 据韦达定理得: 则直线AD经过定点(o,o), 即抛物线的顶点O. 当直线AB的斜率不存在时, 则直线AD经过定点(o,o), 即抛物线的顶点O. 性质2-1过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A,B两点,点D在“类焦点”F對应的“类准线”上,若直线BD平行于椭圆的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点). 证明如图2,以椭圆的中心O为原点,椭圆实 轴所在的直线为x轴,建立直角坐标系. 下面分两种情况证明. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y= k(x-m)(k≠0).(注:若K=o,则结论显然成立).得b2X2+ a2k2 (X- m)2 _a2b2=o,∴(a2k2+b2)X2—2a2k2mx+a2k2m2一a2b2=0.设A(x,Yi),B(X2,y2 )(Xl≠X2),据韦达定理得X1十X2:2a2k2m 该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点. 当直线AB的斜率不存在时, 该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点. 类似地,可以把性质3推广为: 性质3-1过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线BD平行于双曲线的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点). 一c时,性质2-1、3-1分别为性质2、3. 由性质I-I、2-1、3-1,可把性质4推广为: 性质4-1过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线BD平行于圆锥曲线的对称轴,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点). 3 推广性质的逆命题 上述推广性质的逆命题成立吗?只要对性质4-1进行讨论即可.设过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线AD经过“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点M,那么直线BD是否平行于圆锥曲线的对称轴? 设点D1在类焦点“F对应的“类准线”上,且直线BD,平行于圆锥曲线的对称轴,据性质4-1,得直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点M).这表明直线AM经过点D1.又直线AD经过“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F连线段的中点M,知直线AM经过点D,则点D,D1同为直线AM与“类准线”的交点,故点D,D1重合,从而直线B平行于圆锥曲线的对称轴, 可见,性质4-1的逆命题成立,其逆命题是: 性质4-2过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的的中点),则直线BD平行于圆锥曲线的对称轴, 据此,可得性质I-I、2-1、3-1的逆命题: 性质1-2过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A,B两点,点D在抛物线的“类准线”上,若直线AD经过抛物线的顶点O,则直线BD平行于抛物线的对称轴. 性质2-2过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点).则直线BD平行于椭圆的对称轴. 性质3-2过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,若直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点),则直线BD平行于双曲线的对称轴. 特别地,当“类焦点”F为焦点时,性质1-2、2-2、3-2、4-2分别为性质1、2、3、4的逆命题. 4 所得结论的完善 分别综合性质l-I、1-2,2-1、2-2,3-1、3-2,4一、4-2,可得: 性质1-3过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A,B两点,点D在抛物线的“类准线”上,则直线AD经过抛物线的顶点O的充要条件是直线BD平行于抛物线的对称轴. 性质2-3过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点)的充要条件是直线BD平行于椭圆的对称轴. 性质3-3过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A,B两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点)的充要条件是直线BD平行于双曲线的对称轴. 性质4-3过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于AB两点,点D在“类焦点”F对应的“类准线”上,则直线AD经过定点(该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点)的充要条件是直线BD平行于圆锥曲线的对称轴. 参考文献 [1]孙承雄,对一道课本例题的逆向探究[J].福建中学数学,2018 (6):7—8 |
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