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“植”根源头 “树”立思想

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摘要：《植树问题》一课是大家耳熟能详的典型课例，我也教过多次，但学生的错误依旧不断，这也促使着我再探究竟。通过多次课堂实践及教研组同事们的倾力协助，我進行了深刻反思和整理。文章从“鱼—渔—喻”的角度，并以《植树问题》一课为例，探讨教师在一线教学中，如何分析教材、剖析错误，从教会学生知识到培养学生能力，进而发展学生素养。

关键词：植树问题;两端都种;数学思想

一、引子——课材领航，指明方向

《植树问题》在人教版五上数学广角中，共编排了3个例题、1个练习。例题分别是两端都种、两端都不种（两旁）、封闭图形。课标中指出：数学广角主要目的就是让学生体会知识的形成过程和感悟数学思想方法。植树问题就是要让学生在实际情境中，抽象出数学问题，经过动手操作、推理得出结论，最后把结论运用于实际问题的解决，并在探索活动中渗透数学思想方法，建立数学模型。这里的数学思想方法应该有“简单的划归”（化繁为简就是一种简单的化归思想），“数形结合”“一一对应”“推理”以及“比较”的学习策略等等。

二、探索——实践反思，重“树”思想

（一）授之以鱼——教知识——掌握知识

初次思考就颇费脑筋，我不能像俞正强老师那样另立新意，从“平均分”这样独特的角度再找出一个点来切入，那怎么办呢？一个数学老师最大的本领是将散落在课本中各个知识点，串联起来，将书本“由厚变薄”。我努力去寻找一条线，这条线可以把相关的例题整合在一起，将知识点串联在一起。

1. 热点引入、一线牵头

植树问题中主要的数学思想是模型思想，也是植树问题的重难点，即让学生从生活情境中抽象出数学问题，通过探究，建立模型。首先要找到一个与植树问题相关的生活“热点”来引入，我想到了支付宝里的蚂蚁森林，蚂蚁森林是一项公益事业，就是植树造林。其次是找到一条“主线”，引导学生在蚂蚁森林的情境中抽象出数学问题，在“两端未知的情况下植树”这条主线上，通过画线段图、列算式等，一步一步地来探究植树问题中的数量关系和变化规律，推理出相应的结论，并寻找结论与生活的联系，最终建立起植树问题的数学模型。

2. 按部就班、平均发力

最初的设计是按顺序给出三个例题，分别是“两端都种”“只种一端”（一端插上了木牌）、“两端都不种”（两端都插上了木牌），探究每个例题时，都给予同样的时间精力让学生画图解决、推理结论。那么，植树问题的“三种类型”需要平均发力吗？显然不是，因为按照顺序给出例题，看似稳扎稳打，层层递进，但不利于学生思维的发散和拓展，这种只按老师意愿进行的课堂教学，又回到了传统教学的老路。

3. 配套练习、稳扎稳打

以下是我最初的练习设计：

（1）某公交路线全长13千米，平均每相邻两个站点的距离为1千米。一共有几个站？

（2）一根木头长10米，每隔2米锯一段，一共要锯多少次？

（3）开运动会了，学校打算在一条长60米的跑道边上插彩旗（只插一端），每隔1.5米插一面，一共要准备多少面彩旗？

（4）月牙泉全长约240米，泉水很深，为了安全，工作人员在泉水四周安装了柱子，每隔2米安装一根，并用铁链围起来。问一共安装了多少根柱子？

由习题可见，每个结论都通过对应的练习，稳扎稳打，把每个知识点都强化巩固，看似无可厚非，但是这样的练习设计是否有利于学生对植树问题四种类型的整体把握呢？是否可以更开放呢？是否让学生自己去发散？

授之以鱼，就是教师教会学生知识，让学生掌握知识，这样的传统设计有一定的意义，但显然可以更加开放。因此，我重新开始思考。

（二）授之以渔——教方法——提高能力

实践是检验真理的唯一标准，只有实践才能发现问题，而初次课堂实践就暴露出很多设计上的问题，“授之以鱼，不如授之以渔”，教知识，更要教方法，在大家的帮助下，我进行了调整。

1. 整合例题，开放思维

既然是探究，就要开放，这次我摒弃了按序教学和平均发力的教学设计，把三个例题进行了整合，把两端的情况隐蔽掉，让学生自主去思考不同的情况，同时，也可以培养学生思考问题严密性的解题习惯。

例题：在库布其荒漠，工作人员已经挖好了一条长2000米的沟，打算在沟里种植一排沙柳，每隔5米种一棵。一共要准备多少棵沙柳？

2. 寻找源头，确定切口

集体反馈是本节课的重点环节，那么我们应该选择哪种类型作为“切入口”最合适呢？换言之，哪种类型最容易被学生想到，最容易被接受，为了寻找心中的答案，我们对二到五年级学生进行了前测，以下是前测的内容与结果。

工人叔叔在一条长20米的小路一边种树，打算每隔5米种一棵，他要准备多少棵树？（请用画图和算式说明你的想法）

（1）你知道上题是一个什么问题吗？（2）生活中有差不多类型的问题吗？请你举两个例子。（3）对这类问题你有什么疑惑的地方吗？

从前测统计得出，在两端未知的情况下，各年级的孩子多理解为“两端都种”，答案也是5棵居多。前测是考察孩子生活经验与已有基础，这说明他们在实际生活中，接触最多的情形是“两端都种”。所以，“两端都种”作为植树问题的“切入口”最合适。

3. 抓住核心，统率整体

当以“两端都种”为切入口时，我们需要如何教学？植树问题的源头是平均分，其本质就是间隔问题，就是把总长进行平均分，每段长度相等。但植树是种在点上，然后点和段依次重复出现。所以植树问题的核心是“段和点的关系”，我们必须从段和点着手，引导学生通过探究段（段数）和点（棵数）之间的关系，最终推理出结论。

那么怎么抓住“段和点”的关系呢？首先要引导学生用“画图”“列式”等方法来研究，这就是“授之于渔”，就是教方法。然后，要引导学生在线段图中找段与点的关系，可以是数一数或直接观察，但是当段数很多的时候，可以进一步引导学生通过“一一对应”的方法去圈一圈，找出段与点的对应关系，从而来发现“两端都种”时，棵数=段数+1，帮助学生建立植树问题的一般模型。

（三）授之以喻——教思想——发展素养

华应龙曾说：“过去我们的教学只为了结果，掐头去尾，精讲多练，重在知識;现在，我们的教学还为了过程，从头到尾，自主探究，重在体验。”植树问题承担了很多思想方法，而“教思想”是最难琢磨的，这是一个无声胜有声的渗透过程。

1. 一一对应

植树问题背后的思想是“一一对应”，是重要的数学思想方法，要引导学生去发现，通过一一对应，找到一棵数（点）对应一段（或者一个间隔），最后来看看，棵数有没有多或少，从而来发现规律。

教学片段：

汇报过程中，引导学生认识“总长”“每段长度”“段数”，理清并板书“总长÷每段长度=段数”的关系，板书算式：20÷5=4（? ）

追问：4后面是什么单位，为什么？

师：为什么要加1？怎么看出来？你能在图上圈一圈吗？最后，把圈好的线段图展示在黑板上。

多次课堂实践中，我发现很多孩子都写20÷5=4（棵），4+1=5（棵），这里需要引导学生明确20÷5算出来的4表示4段。同时，也发现很多孩子没有主动用“一一对应”的思想方法来圈一圈的，但孩子并不陌生，只需教师稍加提醒，都能很好地使用“一一对应”的方法，将一棵树与一段圈在一起，依次圈完，从而发现联系。

2. 模型思想

模型思想也是植树问题中重要的数学思想，要求学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示植树问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。我以蚂蚁森林为例，引导学生将其抽象成线段图，再通过探究得出结论，建立起“棵数=段数+1”的一般模型，并深化和完善规律，建立起完整的数学模型。

数学源于生活，用于生活，植树问题的模型还需要拓展，势必要和生活联系，我设计的3个练习都是围绕着这个意图展开的。

（1）问题一：生活中有类似植树问题的情形吗？你能不能举个例子呢？我可以把它放在植树问题的哪种情况里？

（2）问题二：公交路线。

教学片段：

师：你觉得公交站与植树问题有什么联系？属于哪一种情况？为什么？公交站相当于什么？还有呢？

追问：那又有什么不一样？你观察得很仔细，看来植树问题的路线不一定是直的，弯的也可以。

师：那还有什么不一样？厉害，其实公交站的设置还要考虑路况、地形和人流量等等，所以每个公交站之间的距离有所不同，但如果平均一下，依然可以看作植树问题。

尽管公交站路线有很多不同，但是规律和思考方式如出一辙，这样的设计拓宽了植树问题的内涵，让植树问题的模型更加完善和丰富。

（3）问题三：编一编。

①20÷5=4，4+1=5;②20÷5=4;③20÷5=4，4-1=3。

请你根据今天所学的知识，结合生活实际，选择上面的一组算式，来编一道题。

这题不仅要求学生把植树问题的原型与生活中的例子进行比较，还要求选择算式来编题，也是在数学建模之后再次应用。不仅培养了学生的应用意识，也让学生深刻地感受到植树问题与生活的紧密联系。

3. 转化思想（化曲为直、化直为曲）

转化思想的其中一种就是将未知的转化为已知的，有利于探究解决新的问题。植树问题里的封闭图形便是如此。

教学片断：

师：那么封闭图形和我们前面的植树问题有什么联系？为什么？

预设：它与只种一端的情况一样，我们把封闭图形断开后，其实就是一个只种一端的线段图。如果把只种一端的线段图，头尾相连，就是封闭图形。

封闭图形断开后拉直，就是只种一端的线段图。只种一端的线段图首尾相接，就是封闭图形。

课件出示或动画演示（如上图）

通过“化曲为直”和“化直为曲”之间的转变，打通了这两种情况之间的联系，加深了学生对植树问题结论的理解。

教学有三重境界：一是教知识;二是教方法;三是教思想。这次磨课经历，让我深深地体会到新课程下的小学数学比以往更加重视数学思想方法的蕴含与渗透，我们在平时的教学中应适时地引导学生运用数学思想方法解决数学问题，内化学生的数学素养，真正地做到“植”入人心，“树”立思想。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]梅建伟.“动手操作”有效性缺失现象刍议[J].中小学数学，2009（11）.

[3]陈健.两种异化现象谈引领学生有效动手操作[J].小学数学教师，2009（12）.

作者简介：

倪建锋，浙江省杭州市，浙江省杭州市萧山区银河实验小学。

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