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高中数学函数与导数的应用

范文

李桂林

【摘要】随着新课程改革的不断推进，高中数学中的导数问题在数学学科当中越来越受到重视。导数实际上就是导函数的简称，是函数当中一个比较特殊的函数，导数的引入与使用的过程也一直贯穿着函数的问题与性质。随着高中数学难度的不断加深，导数的应用已经由一个简单的辅助工具上升到了分析和解决问题中必不可少的一个工具。近年各省的高考试题中都以导数为载体来出题，考查学生们的创新能力与探究能力。那么在高中数学中，导数与函数的应用是怎样体现的呢？

【关键词】高中数学;函数与导数;应用

函数是高中数学中的一个常见名词，在函数的问题探究中，利用导数来进行一些问题的解决是非常有效的，在近几年当中，由于试题难度逐渐加深，函数方面的问题都比较有难度，为了能够更好地解决函数问题，教师应当将导数问题与函数问题在教学中进行一个有效的结合，让学生们掌握利用导数去解决函数问题这样一种有效的方法，从而更加有效地解决函数问题。那么如何利用导数去解决函数问题呢？在实际中，学生们应当怎样去应用呢？

一、利用导数可以更好地理解函数的性质

函数是高中数学学科当中的一个比较有难度的知识点，在高中数学教学中，函数的性质问题～直是令教师感到头痛的一个知识点，因为这方面的内容比较复杂，学生会感觉到容易混杂，分不清楚，并且不会进行应用，因此成了教学中的一大难题，也成为学生学习中的一大阻碍。函数的性质主要涉及函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，这些我们其实都可以通过图像的形式来更好地进行教学，学生也可以通过图像的方式进行记忆。但是这只是指一些比较单一的简单的函数，如果涉及的是非基本初等函数，比如像y=x3-2x2+x-1这样比较复杂的函数，要想通过图像的方式来了解它的性质就比较困难了，但是掌握了导数的概念与基本知识之后，学生便可以利用导数来进行函数性质的判断与解决，利用求出的导数来画出各个点的位置，然后根据各个点的位置，比如拐点、最高点、最低点等等，都可以清晰地判断出函数的基本性质，所以说导数是判断函数性质的一个有效方法。

二、利用导数解决函数单调性问题

函数单调性是指在一个函数中，随着x的增大，y也增大，那么这个函数就是增函数，而如果随着x的增大，y变小，那么这个函数就是减函数，如果具有这样的特性，那么就说这个函数具有单调性。在证明函数单调性的过程中，我们可以使用定义来证明函数是否具有单调性，也可以利用函数的解析式来证明函数是否具有单调性，但是這些方法在操作的过程中不是太麻烦，就是会因为一些小的错误而导致最后的结果出现问题，因此这些证明的方法都不是很好。但是在学习完导数之后，便可以教学生用导数来进行函数单调性的证明，这样就可以有效简化函数单调性的问题。比如让求解当a>O时，函数f（x）=（x2一2x）lnx+（a一1/2）x2+2（1-a）x+a的单调性，那么在这道题中便可以引进导数的概念。在做这道题时，首先我们应该求出这个函数解析式的导数表达式f（x）=2（x-l）（lnx+a），其中x>0，然后根据导数的定义可知，当常数a大于O时，令厂f'（x）=O，可得x1=l，x2=-e-a，此时e-a<1，这样就能够很清晰地知道函数的增区间和减区间。由这个例子可以看出，通过导数来解决函数的单调性问题可以将问题简化，传统的解题方法是由f（x1） -f（x2）的正负来判断函数的单调性，而利用导数这一方法可以直接由f（x）判断出函数的单调性，从而达到高效解题的效果。

三、利用导数解决函数值域、最值问题

函数的值域与最值问题一直以来都是学生们眼中的一个大难题，也是教师教学中的一大难点，在高中数学函数教学中，值域与最值问题又是在考试中比较容易出现的一个问题，受到教育领域的重视。尤其是在近几年来，函数的值域与最值问题一直是考试中的重点题，是学生在备考当中一定要掌握的一类题。因为值域问题与最值问题与导数的联系比较密切，不仅能够在函数的问题当中考查学生们的导数应用能力，更能够通过这样一道题来有效地考查学生们的探究能力与创新能力，因此比较容易出现。导数是处理函数值域与最值问题时的一个比较有效的方法。在求函数值域方面，求值域问题在高中数学考试中较为常见，而且这部分知识也可以说是学生在整个高中数学学习阶段的重点，同时它也是教师教学的难点。在实际学习中，求函数值域的方法有很多，其中最简便的方法就是利用导数，在解题过程中，我们可以先找到问题函数f（x）的定义域是什么，然后根据函数的定义判断其导数，f（x）的正负，进而就可以简单地求出函数的值域了。而在求最值方面，以题目为例：已知f（x）=x2一2x，求这个函数在[-2，1/2]上的最值，在利用导数的相关知识做这道题目的时候，我们可以先根据前文说的利用导数求函数单调性的方法，求出函数解析式的导数，f（x），并求取它的单调递增、递减区间，然后再推理该函数的最大值或最小值，通过这道题可以看到，利用导数来求解函数中的最值问题，能够有效简化解题的过程，不仅能够快速计算出函数的最值，而且得出的结果还比较可靠，可以说导数是解决最值问题的一个有效方法。

总之，导数是高中数学教学中解决函数问题的一个非常有效实用的方法，教师应当帮助学生良好地掌握导数与函数的应用技巧。以上便是我提出的几点高中数学中导数与函数的应用，希望能够对广大教师有所帮助。

【参考文献】

[1]巫忠秀.浅谈高中数学导数的应用[J]课程教育研究，2012（24）164-164

[2]王新.浅析导数在高中数学函数中的应用[J]高中数理化，2016（14）：5-5

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