《解析几何中巧用圆锥曲线定义解题的探索》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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解析几何中巧用圆锥曲线定义解题的探索

范文

张郡麟

【摘要】圆锥曲线的第二定义体现了“形”的统一，第一定义则体现了“质”的区别，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础。

【关键词】圆锥曲线;第一定义;第二定义

定义是揭示事物本质属性的思想形式，面对一个数学对象，回顾它的定义，常常是解决问题的锐利武器。圆锥曲线的第二定义体现了“形”的统一，第一定义则体现了“质”的区别，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何问题思路的钥匙，在题目中挖掘这些隐含信息有助于解题。下面我们一起来看看圆锥“定义”在求解圆锥曲线问题中有哪些常规应用。

[例题1]在等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为4√2，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，求该椭圆的标准方程。

分析：直觉猜想并解题，找出题目中特殊的数值和题目间的内在联系，点F即焦点，2恰好是椭圆离心率的倒数，然后利用椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义），即椭圆上的任何一点到焦点的距离与该点到同侧准线的距离之比是离心率e，从而将所求的PA+2PF转化成点P到A点的距离与到右准线的距离之和，数形结合后发现最小值即为点A到右准线的距离，而P点的纵坐标将与A点纵坐标一致，代入椭圆方程即可求出P点坐标。现在要求PA+PF的最大值，那我们可以怎么转化呢？首先利用椭圆的定义转化为距离之差，PA +PF=PA+（2a-PFl），其中Fi为椭圆左焦点，然后将PA+（2a-PFl）写成2a+（PA-PF），最后利用数形结合法“三点共线”来确定所求P点即为AF，的延长线与橢圆的交点。

我们在解有关圆锥曲线的问题时，如果题目涉及焦点、准线方程、离心率、圆锥曲线上的点这四个条件中的三个，我们一般就要联想到圆锥曲线定义，有时甚至只要知道其中的两个条件，也可以联想到圆锥曲线定义。灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义，将会带给我们意想不到的方便和简单。圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础。因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分，比如椭圆的定义中要求|PFl|+|PF2|>|FIF2|，双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|。这样，在解题过程中才不会步入歧途。

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