| 标题 | 镜电法求解带状边界内电荷的运动轨迹 |
| 范文 | 寿倩 摘 要 本文用镜电法求解了带状边界内泊松方程的格林函数，并得到了源电荷随时间的运动规律。源电荷受到的加速力来自于有限边界的作用，等价于所有镜像电荷对它所施加的电场力。 关键词 镜电法；泊松方程；带状边界；格林函数 中图分类号O441 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）49-0108-01 0 引言 镜电法又叫静像法，被经典的电磁学教科书里用来求解有限边界内泊松方程的格林函数。这种方法将源电荷在边界上感应出来的分布复杂的感应电荷，用有限个（通常是一个）镜像电荷所取代。源电荷与镜像电荷在无界空间的电势分布的代数和就是所要求的格林函数。这种方法简单、直观。然而，镜电法一般只被用于半无限大空间、圆形、球形等最简单或者对称性最强的边界形状，镜像电荷也只限于一个。当边界形状变得复杂，镜像电荷的分布就会变得复杂，数量增多甚至变成无穷多个。这时，镜电法失去优势，甚至变得没有意义。 带状边界的泊松方程问题，除了数值解法，我们一般采用本征函数展开法来得到它的无穷级数形式的解析解。然而，这种解法不能给出直观的物理模型，在后续的计算中（如对电势求梯度来求电场的大小）也会出现庞杂甚至不可解的推导过程。 本文用镜电法解析求解了带状边界内泊松方程的格林函数和电荷在带状区域内随时间的运动规律。由于多重反射的作用，带状边界的镜像电荷变成无穷多个，源电荷所受到的边界力等同于所有镜像电荷对它施加的合电场力。 1 用镜电法求解有限边界内电荷的运动 第一类边界条件下，泊松方程的经典物理对应是具有一定空间分布的电荷引起的电势的分布。考虑源电荷初始位置只在一维方向上，即x方向上相对于中心有偏离的情况。首先只考虑一个源点电荷的情况，源电荷和镜像电荷分别激发一个电势分布： 其中， Q和Qn分别为源电荷和第n阶镜像电荷的电荷量。是真空介电常数。由于我们不考虑电荷的空间分布，这里的和也是源电荷和镜像电荷的格林函数。由于镜像电荷的存在，源电荷受到来自所有镜像电荷的作用力。由静电学中的库伦定律，电荷受到的静电力由电势的梯度决定： 其中M是源电荷的质量，xc是源电荷的坐标。这样，有限边界对源电荷的作用就形象的等价于镜像电荷与源电荷之间的作用。这就是镜电法求解有限边界内电荷运动的主要观点。 2 源电荷在带状边界内随时间的运动规律 下面就用镜电法具体的求解带状边界内电荷的运动规律。在带状边界的条件下，镜像电荷有无穷多个，它们分布在边界的两边，每一边的电荷正负号交替的改变。与之对应的镜像电荷的归一化坐标也分为两组： 正坐标：, 负坐标：（3） 这里n是镜像作用的阶数。这两组镜像电荷引发的电势分布（格林函数）为： （4）式表明，带状边界条件下，泊松方程的格林函数没有有限形式的解析解。然而，决定电荷运动轨迹的是电势的梯度而不是它本身，仍然可以得到电荷中心轨迹的有限形式解。由（2）和（4）式，源电荷的运动方程为： 图1 （a） 第一阶镜像电荷对源电荷施加的电场力在所有镜像电荷对源电荷施加的合力之中所占的比重随源电荷中心归一化坐标的变化曲线；（b）源电荷分布中心随时间的运动轨迹 图1（a）给出了第一阶镜像电荷对源电荷施加的电场力在所有镜像电荷对源电荷施加的合力之中所占的比重随源电荷中心归一化坐标的变化曲线。可以看出，绝大部分合力的贡献来自第一阶镜像电荷，这个比重随着源电荷初始位置靠近边界而增加。这个结论很容易理解，因为当源电荷非常靠近某一边的边界时，这个边界的第一阶镜像电荷也会非常靠近源电荷，对源电荷的作用力也会非常强。 严格解析求解（5）式会比较困难，这里只对（5）式的右边做一级泰勒展开并设初始条件为，得到源电荷的运动轨迹在一阶近似下的解为： 基于（6）式，给出电荷在带状区域内的运动规律，如图1（b）所示。如果源电荷初始位置偏离中心靠近正向的边界，源电荷首先以低的速度和加速度移动。随着时间的推移，源电荷被逐渐吸引以更高的速度和加速度靠近正向边界。显然一阶近似只能描述源电荷在中心附近小范围内()的运动形式。随着电荷向边界靠近，加速力非线性增强，更高阶近似才能很好的描述电荷的运动。可以预见的是，随着源电荷逐渐靠近某一边的边界，其运动的加速度逐渐增加，直至在此边界上与感应电荷复合。 3 结论 本文利用静电法求解了带状边界条件下泊松方程的格林函数，并得到了闭合形式的源电荷的运动方程。在带状边界内，由于多次反射作用，镜像电荷的个数是无穷多的。源电荷受到的加速力作用，在本质上来源于边界的作用，在数值上等于所有镜像电荷对它的合作用力。静电法在处理边界对电荷的作用甚至是电荷、电荷之间的作用时是一个直观、有效的方法。 |
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